确定正则化参数的模型函数方法及数值微分的研究

摘要

在这篇论文中，我们首先考虑了线性不适定问题的正则化方法．在Tikhonov正则化方法中．我们建立了一系列有效求解Morozov相容性原理及其吸收形式的模型函数方法，证明了模型函数方法的全局收敛性并通过数值算例说明了该方法在计算精度以及计算时间方面的有效性。在Lavrentiev正则化方法中，我们讨论了正则化参数的先验以及后验选取策略．建立了有效求解广义Morozov相容性原理的模型函数方法．我们证明了模型函数方法的全局收敛性，并通过数值算例说明了该方法的有效性．
　　 其次．我们考虑了求解数值微分的稳定算法．通过把数值微分表示为一个积分方程的形式，我们提出了求解一元函数的任意阶导数以及二元函数的拉普拉斯运算的积分方程方法．该方法的优点是正则化解具有显式的表达式，因而其数值实现相对容易。结合Lavrentiev正则化方法的理论分析，我们给出了积分方程方法中正则化参数的先验以及后验选取策略，并在一定条件下得到了正则化解的误差估计．在利用模型函数方法计算正则化参数时，通过对光滑函数以及非光滑函数的数值试验，我们充分说明了积分方程方法的有效性．
　　 最后，我们给出了数值微分在几个具体问题中的应用，并通过数值模拟论证了积分方程方法求解数值微分的实用性．

目录

文摘

英文文摘

第一章 前言

1.1 反问题与不适定问题

1.2 线性不适定问题的正则化

1.3 数值微分--类经典的不适定问题

1.4 本文的主要工作

第二章 线性不适定问题的正则化

2.1 一般的正则化理论

2.2 Tikhonov正则化及其参数选取

2.2.1 Tikhonov正则化方法

2.2.2 正则化参数的选取策略

2.3 求解相容性原理的模型函数方法

2.3.1 预备知识

2.3.2 传统模型函数方法

2.3.3 有效模型函数方法

2.3.4 一般模型函数方法

2.3.5 特殊模型函数方法

2.3.6 简单模型函数方法

2.3.7 数值算例

2.4 Lavrentiev正则化及其参数选取

2.4.1 Lavrentiev正则化方法

2.4.2 正则化参数的选取策略

2.4.3 求解广义相容性原理的模型函数方法

2.4.4 数值算例

第三章 数值微分

3.1 一元函数的数值微分

3.1.1 已有的工作

3.1.2 一阶数值微分

3.1.3 高阶数值微分

3.2 二元函数的数值微分

3.2.1 已有的工作

3.2.2 二元函数的拉普拉斯运算

3.2.3 数值算例

第四章 数值微分的应用

4.1 粘弹性松弛模量和蠕变柔度的计算

4.2 核磁共振成像技术

4.3 数字图像边缘检测

第五章 总结与展望

致谢

参考文献

攻读博士学位期间撰写或发表论文情况