小波分析用于求解微分方程数值解的研究

摘要

小波分析是当前应用数学中一个迅速发展的新领域，由于小波兼有光滑性和局部紧支撑性质，和传统的有限元、有限差分方法比较，能够更好的处理局部存在奇异性的问题，目前越来越多的应用在偏微分方程数值求解中。本文主要研究了微分算子的小波多分辨表示，并以热传导方程为模型，研究了偏微分方程数值求解。 小波求解微分方程的实质就是将方程由原来的坐标系转化到小波系下求解，Leland Jameson给出了一阶导数算子在尺度．，=1时的多分辨展开，本文在此基础上，进一步研究了一阶和二阶导数算子的在尺度j=1，2时的小波展开，证明了一阶、二阶导数算子小波域的表示形式，并给出了具体的展开式以及系数的计算。 由导数算子的小波展开理论，本文对具有奇异性的热传导方程的求解建立了两种格式。第一种，对于尺度函数空间V<,j>，利用具有显式表达式的拟Shannon尺度函数，构造基函数，建立热传导方程数值求解格式；第二种，在多分辨空间V<,j+1>=V<,j> W，(j∈z)上，利用本文推导的导数算子小波展开的结论，建立小波数值求解的离散格式，证明了偏微分方程小波域的等价形式。最后，通过数值算例分析，表明小波解不仅精度比传统的有限差分方法要高，而且在间断点附近没有发生解的振荡现象，能更好的逼近真解。

目录

文摘

英文文摘

原创性声明及关于学位论文使用授权说明

第一章引言

1.1 小波理论的形成与发展

1.2 小波在微分方程数值解中的应用

1.3 本文的研究工作及取得的成果

第二章小波分析基础理论

2.1小波变换

2.1.1小波变换的定义

2.1.2多分辨分析与Mallat算法

2.2导数算子的小波表示

2.2.1函数的小波展开的基本理论

2.2.2一阶、二阶导数算子在尺度j=1，2下的小波展开形式

2.3本章小结

第三章微分方程的小波解法

3.1建立小波方法求解微分方程的格式

3.1.1热传导方程在Vj空间上数值求解的离散格式

3.1.2热传导方程在Vj(×)Wj空间上的数值求解的格式建立

3.2本章小结

第四章实验结论与分析

4.1导数算子差分表示与小波表示的比较

4.2实验结果比较与分析

4.2本章小结

结束语

参考文献

附录

致谢

攻读硕士期间发表的论文及参加的科研研究项目