基于Boltzmann方程的一致气体动力学格式对连续稀薄气体流动的数值模拟的研究

摘要

稀薄气体动力学为航空航天科学的重要基石之一，而在稀薄气体动力学中可以说核心的核心当属Boltzmann方程，但Boltzmann方程却是一个极其复杂的积分微分方程，要求得它的精确解是不现实的，因此需要运用计算数学的相关理论和方法，并结合物理理论对其进行数值模拟，以求其数值解。而传统上的基于连续性介质假设所得到的N-S方程的数值模拟，在稀薄流态应用上却受到了很大的局限。因此，基于分子热运动和统计力学所发展起来的稀薄气体动力学理论越来越受到重视。
　　本文基于稀薄气体动力学相关理论和Boltzmann-BGK模型，通过对粒子速度空间进行离散，在整个Knudsen数流动下构造了一个多尺度一致气体动力学格式。在一个时间步内此格式将微观气体分布函数和宏观守恒变量进行紧密耦合，与LBM等方法相比，此格式最大的优点在于不需要将粒子输运过程和碰撞过程进行分裂。并且从理论上讲，气体分子在物理上的输运过程和碰撞过程被统计力学模式化成为气体动力学方程后，它的输运过程和碰撞过程在空间和时间上就是一并进行的。因此，对方程的数值离散就应该将两个过程一致进行，如此就使得进行模拟的时间步长可以大于碰撞时间步长，同时使得此格式能够对高雷诺数高马赫数流动也可以进行很好地模拟。另外，因为此格式的宏观流动变量的多尺度特性，使得相对应的微观热通量能够根据任意实际的普朗特数进行修正。
　　本文主要工作在于三个方面：首先是对含有内部变量的Boltzmann方程进行了推导，将空气动力学与稀薄气体动力学的相互关联的理论进行了一个归纳总结。其次是在算法实现中，将边界附近分布函数局部精度从二阶提高到了三阶，同时对边界通量重构运用了三次哈密顿-牛顿型插值方法，并且对一维重构和二维重构进行了算法实现。最后是使用本文提出的格式对几个经典的一维和二维算例进行了数值模拟，获得了与物理原理一致符合的数值结果，并且还将数值结果与三阶WENO格式解Euler方程所取得的结果进行了比较，说明了算法的正确性和其对N-S解的一致符合性，取得了理想的效果。

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第一章 引 言

§1.1 研究背景及现状

§1.2 论文主要结构

第二章 稀薄气体动力学相关理论

§2.1 Boltzmann 方程

§2.2 Boltzmann H定理

§2.3 Maxwell分布

§2.4 Boltzmann BGK近似

第三章 用一致气体动力学格式离散BGK方程

§3.1 一维离散

§3.2 二维离散

第四章 数值实验

§4.1 一维模拟

§4.1.1 算例1：激波问题

§4.1.2 算例2：标准Sod问题

§4.1.3 算例3：Upper and Lower transition流动问题

§4.2 二维模拟

总结与展望

参考文献

致谢

附录