非线性哈密顿系统的有限元法研究及比较

摘要

哈密尔顿系统是一种重要的力学系统，广泛的出现在物理、力学、工程、纯数学与应用数学领域．通常可以认为，一切耗散可忽略不计的真实物理过程，都可以表示成哈氏方程的形式．从而，对其数值方法的研究无疑具有重要意义．哈密顿系统有两个重要特性：守恒性与辛结构，用数值方法求解时应尽量保持这些性质． 但是任何离散算法，一般而言不能既保能量又保辛（Ge—Masden定理）．回顾近二十年来的哈密尔顿系统的算法研究，重点多集中在对其辛性质的研究，如：辛差分法（冯康）、辛RK法等．这些算法能很好的保持辛性质．然而在很多领域保能量更重要，因此我们转向研究有限元法。 本文重点研究非线性哈密顿系统经典问题－开普勒问题的数值解法．该问题有有两个重要的守恒量：能量（哈密顿量）、角动量．因此，我们认为评价该问题算法优劣有三个标准：保能量，保角动量，长时间计算偏离小．本文从传统非辛算法和传统辛算法中挑选有代表性的方法，如：辛差分法、辛RK法、辛PRK法，与有限元方法进行比较．研究发现任意次有限元法始终是保能量的；首次发现有限元法对角动量计算不仅精度高，而且误差与长时间无关，即：m次元角动量误差达到O（h2m）精度；此外，长时间计算具有较好的稳定性及高精度，有限元法轨道误差约为辛RK法的1/3。

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声明

1.引言

2.Hamilton系统和辛算法综述

2.1辛几何及其性质

2.2 Hamilton系统的辛结构和守恒性

2.3非线性哈密顿系统辛算法介绍

2.4辛算法的分类和主要优势

3.非线性Hamilton系统的有限元算法及其基本结论

3.1 m次有限元法计算格式和加速技巧

3.2非线性Hamilton系统有限元算法的若干结论

4.开普勒问题数值方法研究

4.1低精度格式在较粗网格上的比较

4.2高阶格式的比较

4.3长时间数值计算的比较

5.结论与展望

参考文献

致谢