典型非光滑动力学系统分岔与多解共存现象研究

摘要

本文以两类非光滑动力学系统为对象，对其全局动力学特性进行了研究，包括分岔和多解共存现象。
　　非线性系统的全局分析方法可以分为解析方法和数值方法。解析方法中较为著名的是Melnikov方法，由于系统的流在切换面处不连续，经典的Melnikov方法并不能直接运用到非光滑系统中。本文考虑碰撞面的作用，构造了拟Hamilton碰振周期轨道次谐Melnikov函数，并用算例详细介绍了其计算方法和运用，数值结果验证了我们构造的Melnikov函数的有效性，能够得到系统可能出现次谐周期解的参数区域。同时发现周期轨道和同宿轨道相似，随着系统参数变化，周期运动都是经过倍周期分岔逐渐过渡到混沌运动。同时建立了这类拟Hamilton碰振系统的全局分岔图，首次发现了一些特殊的多解共存现象:周期运动和混沌运动共存。
　　数值方法主要包括直接数值模拟法（点映射法）和胞映射法，目前将胞映射方法运用到非光滑动力学系统中的比较少，本文将胞映射方法做改进，运用到这类拟Hamilton碰撞系统中，得到了清晰的吸引域边界。发现随着激励力的变动吸引子数量发生变化，各个吸引域形态复杂且相互缠绕，吸引域大小的变动，很大程度上能预测这类运动的稳定性。同时使系统初值远离混沌吸引域和鞍点附近初值敏感地带，可以为拟Hamilton碰撞系统的混沌控制提供参考的初值范围以及增强系统抗扰动能力。
　　同时分析了一类间隙约束翼段系统分岔与多解共存现象，创新性采用仰角幅值处为类Poincaré截面，在整个颤振速度区域内数值模拟系统随飞行速度V变化的全局分岔图，发现飞行速度位于(0.75，0.95)马赫时属于极限环颤振区和位于(0.71，0.75)马赫时属于跨临界颤振区。首次在跨临界颤振区发现多种非线性运动和分岔形式以及多解共存现象，例如由双周期运动直接通向混沌、多周期运动与双周期运动共存现象，且振动幅值存在跳跃现象。而研究低速的这段过渡区域的特殊运动形式更具有工程意义，可能是机翼抖振以及其他复杂振动的根源之一。同时对耦合结构非线性和间隙非线性的二元翼段进行了数值模拟，发现低速区域起作用的主要是间隙非线性，而在高速区域结构非线性占主导地位。

目录

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摘要

插图索引

第1章 绪论

1．1 非光滑动力系统简述

1．2 非光滑动力学系统研究进展

1．3 胞映射法的发展概况

1．4 本文主要内容

1．5 本文主要创新性工作

第2章 拟Hamilton碰振系统的Melnikov方法及运用

2．1 前言

2．2 Melnikov方法简介

2．2．1 同宿轨道的Melnikov函数

2．2．2 次谐轨道的Melnikov函数

2．2．3 小结

2．3 拟Hamilton碰振系统同宿轨道的Melnikov函数

2．4 拟Hamilton碰振系统周期轨道次谐Melnikov函数

2．5 周期轨道次谐Melnikov函数运用算例

2．5．1 系统模型

2．5．2 系统同宿轨道Melnikov函数计算

2．5．3 系统共振周期轨道次谐Melnikov函数计算

2．6 小结

第3章 一类拟Hamilton系统碰振系统的全局分岔及胞映射计算

3．1 前言

3．2 非光滑动力学系统的胞映射计算方法

3．2．1 吸引子和吸引域

3．2．2 胞映射的基本思想

3．2．3 非光滑碰振系统的胞映射方法

3．2．4 非光滑碰振系统的胞映射计算流程

3．3 拟Hamilton系统的全局分岔及多解共存现象分析

3．3．1 系统全局分岔图

3．3．2 系统多解共存现象分析

3．4 胞映射法分析拟Hamilton碰振系统中的多解共存现象

3．4．1 胞映射计算算例

3．4．2 拟Hamilton碰振系统中吸引子的吸引域分析

3．5 小结

第4章 间隙约束翼段分岔与多解共存现象分析

4．1 前言

4．2 Poincaré映射

4．2．1 动力系统Poincaré映射的定义

4．2．2 非光滑系统Poincaré截面的选取

4．3 含间隙约束的二元翼段模型

4．4 系统的极限环震荡及稳定性分析

4．4．1 系统的平衡点分析

4．4．2 周期一极限环震荡及其稳定性分析

4．5 跨临界颤振区系统分岔与多解共存现象分析

4．5．1 最大幅值处为类Poincaré截面的运用

4．5．2 跨临界颤振速度区域系统的分岔

4．5．3 跨临界颤振速度区域的多解共存现象

4．6 耦合结构和间隙非线性二元翼段系统分岔

4．7 小结

总结与展望

参考文献

致谢

附录A (攻读学位期间所发表的学术论文)

附录B (攻读硕士学位期间参加的主要科研项目)