微分线性互补系统理论与高效算法

摘要

互补问题是一类重要的优化问题，它广泛存在于在工程、经济和交通平衡等领域，关于线性互补问题(LCP)的理论和算法研究已取得丰硕的成果.近年来，在机械、动力学以及电路控制等领域出现了带微分方程的LCP—微分线性互补系统(DLCS)，但关于这类系统的研究成果仍然非常稀少，其研究还存在许多困难.在本文中，首先对微分线性互补系统解的理论进行了分析，然后在Euler隐式时步格式的基础上提出了求解DLCS的改进型的Euler时步格式，并分析了该格式在Z-矩阵和半正定矩阵两种类型的DLCS的收敛性，最后给出了一些数值仿真结果.
　　第一章，首先在LCP的基础上介绍了DLCS的模型，重点介绍了一阶Euler时步格式逼近DLCS的解的基本步骤，并分析了两类常用的子问题即带互补约束的最小元子问题和二次子问题的结构和关系.针对一阶Euler隐式时步格式，第二章研究了Z-矩阵型DLCS的最小元子问题的解函数，分析了其解函数的性质;对半正定型DLCS，分析了一阶Euler时步格式下二次子问题解的性质.
　　第三章，针对一阶Euler时步格式下解序列仅一阶收敛的问题，将积分问题的梯形近似和预校格式进行结合，在保持格式稳定的条件下，推导了修正的Euler隐式时步格式.半正定矩阵型DLCS在修正格式下的有效子问题是一个二次子问题，理论上分析了它的最小范数解.对于Z-矩阵型DLCS在修正格式下带互补约束的最小元子问题，利用Z-矩阵的性质，推导出其互补约束与线性约束具有等价性，因此最小元子问题等价于一个线性规划问题.
　　第四章，对改进的Euler格式时步法进行了数值实验，并与原有的隐式时步法进行比较.数值结果表明改进的Euler格式时步法有更好的收敛性.

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摘要

附表索引

第1章 绪论

1．1 研究背景与研究现状

1．2 预备知识

1．3 线性互补系统

1．4 微分线性互补系统(DLCS)

1．5 本文的主要工作和创新点

第2章 线性互补系统的解函数

2．1 线性互补系统的解函数

2．2 Z-矩阵线性互补系统解函数

2．3 P-矩阵线性互补系统解函数

2．4 半正定矩阵线性互补系统解函数

第3章 改进Euler格式

3．1 半正定矩阵差分格式收敛分析

3．2 Z-矩阵差分格式收敛分析

第4章 数值实验

4．1 半正定矩阵数值实验

4．2 Z-矩阵数值实验

4．3 λ任意值数值实验

结论

参考文献

致谢