高振荡积分方程及其数值解法

摘要

高振荡问题已广泛出现于许多科学工程应用领域，例如与生活息息相关的电磁、声波散射问题，而高振荡积分方程是高振荡问题中的一个重要研究方向。然而由于高振荡积分方程中的高振荡性质，传统积分方程数值解法面临极其困难的数值计算挑战，使得高振荡积分方程数值解至今被认为是一项极具挑战性的数值难题。因此，高振荡积分方程及其数值解研究对高振荡理论和解决实际应用问题均有重大意义与价值。本文围绕高振荡积分方程的振荡性质及其有效数值解法展开了广泛和深入的研究。主要工作及创新点体现在以下几个方面：
　　（1）提出了振荡的新概念并定义了新的振荡函数空间。本文从振荡对数值分析的影响的角度出发提出了关于振荡的新概念，它可以刻画影响数值精度的振荡强弱。基于新振荡概念，本文定义了新的振荡函数空间，包括不同振荡阶的振荡函数空间和具有振荡结构的结构化振荡空间。这些空间是分析高振荡积分方程解的振荡性质的重要工具。
　　（2）进行了高振荡积分方程解的振荡性质研究。基于振荡新概念和新振荡函数空间，本文分别研究了两类高振荡Fredholm积分方程和高振荡Volterra积分方程。结果表明，这两类振荡积分方程的解具有振荡结构，在新振荡概念下可以表示为非振荡函数与已知振荡函数的乘积的和，同时在新定义的结构化振荡函数空间中是非振荡的。
　　（3）提出了高振荡积分方程的保振荡Galerkin法和保振荡配置法。保振荡法在标准逼近空间中引进一些简单又能刻画方程解振荡性质的振荡函数，在逼近方程解时保持解的振荡结构，从而使得数值求解精度不受解的高振荡影响。数值实验结果表明这些保振荡法相对于振荡频率具有一致的最优收敛阶并且在振荡频率足够大时在数值计算上是稳定的。
　　（4）提出了多频振荡插值。它是保振荡配置法的基础，其插值函数除了包含经典的多项式函数还包括一组具有不同振荡频率的振荡函数，可以使得在逼近振荡函数时其逼近误差不随振荡频率的增大而增大。
　　（5）利用基于非均匀网格划分的保振荡配置法求解了一类有实际应用背景的带高振荡Bessel积分核的Volterra积分方程。数值实验结果表明无论强制项函数是否振荡，基于非均匀网格划分的保振荡配置法均能有效求解这类高振荡方程而不受高振荡的影响。
　　本文结尾总结了可进一步发展的三个研究方向：复杂高振荡积分方程解的振荡性分析、保振荡数值法的快速算法及并行计算研究以及保振荡法在实际问题中的应用。

目录

声明

第一章 绪论

1.1 高振荡积分方程

1.2 国内外研究现状

1.3 本文的主要研究内容

第二章 振荡及振荡函数空间

2.1 振荡

2.2 振荡函数空间

2.3 本章小结

第三章 高振荡Fredholm积分方程

3.1 高振荡Fredholm积分方程

3.2 非κ振荡结构化索伯列夫空间

3.3 振荡Fredholm积分方程解的振荡性

3.4 本章小结

第四章 保振荡Galerkin法

4.1 OPGM构造

4.2 收敛性分析

4.3 稳定性分析

4.4 数值实验

4.5 本章小结

第五章 多频振荡插值

5.1 多频振荡插值空间

5.2 多频振荡插值矩阵

5.3 多频振荡插值

5.4 分片多频振荡插值

5.5 本章小结

第六章 保振荡配置法

6.1 OPCM构造

6.2 收敛性分析

6.3 稳定性分析

6.4 数值算例

6.5 本章小结

第七章 多频高振荡Volterra积分方程

7.1 主要理论结果

7.2 定理7.2和7.3的证明

7.3 振荡Volterra算子的性质

7.4 定理7.4的证明

7.5 本章小结

第八章 带高振荡Bessel核的Volterra积分方程

8.1 积分方程解的振荡性

8.2 保振荡配置法

8.3 矩阵元素计算

8.4 数值算例

8.5 本章小结

第九章 总结与展望

致谢

参考文献

作者在学期间取得的学术成果