R-L分数阶积分方程及积分微分方程的数值解法

摘要

实际生活中绝大部分材料既不是绝对固体，也不是理想流体，而是介于固体与流体之间的一种抽象状态，用分数阶微积分刻画这种材料的本构关系更准确，更能满足实际需要.分数阶微积分作为微积分学的重要补充，独特性能使得它在人口增长模型、PID控制理论、粘弹性材料、混沌现象等反常问题中有着广泛的应用.这些问题经建模得到的方程大多数是分数阶微分方程、分数阶积分方程及分数阶积分微分方程.而今，对于这类方程数值解的研究还处于萌芽状态.因此，本文将给出几类分数阶积分方程及分数阶微分积分方程的数值解法。
　　本文共由六章内容组成：
　　第一章简单介绍分数阶微积分方程的研究意义、研究现状和本文所研究的内容。
　　第二章介绍本文所需的基本知识:几类分数阶微积分的定义、重要性质以及基本的泛函知识。
　　第三章分别用泰勒级数及分数阶积分算子的可逆性求解了一类R-L分数阶积分方程，并以数值算例验证了这些算法的有效性。
　　第四章分别用级数逼近、Picard逼近及Adomian分解法求解了线性及非线性分数阶第二类Volterra积分方程.由于这类方程的解析解一般不易求得，所以对此方程的解进行了唯一性及收敛性分析，并以整数阶为例验证了上述算法的有效性。
　　第五章分别选用泰勒级数、Bessel函数求解一类R-L分数阶微分积分方程，数值算例表明了逼近方法的有效性。
　　第六章对本文工作进行简单的小结，并提出了今后应该研究的内容。

目录

声明

摘要

第一章 引言

1．1 分数阶微积分方程的研究意义

1．2 分数阶微积分方程的研究现状与发展

1．3 本文主要工作及安排

第二章 预备知识

2．1 几类分数阶微积分的定义

2．2 分数阶微积分的性质

2．3 几类分数阶微积分定义间的关系

2．4 基本引理

第三章 Riemann-Liouville分数阶积分方程的数值解法

3．1 解的唯一性分析

3．2 泰勒级数法求解分数阶积分方程

3．2．1 主要结果

3．2．2 数值算例

3．3 用分数阶积分算子的可逆性求解分数阶积分方程

3．3．1 分数阶算子的级数表达式

3．3．2 数值算例

3．4 本章总结

第四章 分数阶第二类Volterra积分方程的数值解法

4．1 线性分数阶第二类Volterra积分方程

4．1．1 主要结果

4．1．2 误差估计

4．1．3 数值算例

4．2 非线性分数阶第二类Volterra积分方程

4．2．1 主要结果

4．2．2 解的唯一性及收敛性分析

4．2．3 误差估计

4．2．4 数值算例

4．3 本章总结

第五章 Volterra型R-L分数阶微分积分方程的数值解法

5．1 解的稳定性及唯一性分析

5．1．1 解的稳定性分析

5．1．2 解的唯一性分析

5．2 主要结果

5．2．1 泰勒级数法

5．2．2 Bessel函数逼近法

5．3 数值算例

5．4 本章总结

第六章 结论与展望

参考文献

致谢

个人简历、在学期间发表的论文