非Hermitian正定Toeplitz矩阵的M-步预处理子

摘要

本文主要研究了非Hermitian正定Toeplitz线性方程组Ax=b的预处理共轭梯度法。众所周知，若A是Toeplitz矩阵，那么A存在一循环与反循环分裂A=C+S，其中C为循环矩阵，S为反循环矩阵(记为CSCS)。基于该CSCS分裂，本文得到了A的一个收敛的诱导分裂A=M-N，并在此诱导分裂的基础之上，构造了一个m步多项式预处理子Pm。因为原方程组Ax=b与预处理后的方程组(PmA)*(PmA)x=(PmA)*b同解，所以用共轭梯度法求该解预处理线性方程组。
　　我们的对预处理线性方程组的谱和收敛率做了理论分析，结果表明:若Toeplitz矩阵A有正定的CSCS分裂，则预处理线性方程组系数矩阵的谱聚集于1。为了验证Pm的有效性，本文做了大量数值实验，实验结果表明，本文提出的m步多项式预处理子Pm，当m=1，2时，均优于T.Chan循环预处理子CT[19];计算复杂度降为O(nlogn).
　　全文共分五章:
　　第一章为绪论，介绍了Toeplitz线性方程组的研究背景、研究现状及其研究内容和本论文的创新之处。
　　第二章为预备知识，介绍了本论文中所涉及到的一些常用定义、引理。
　　第三章介绍了几类迭代方法，包括最基本的古典迭代法、Krylov子空间投影方法、共轭梯度方法。
　　第四章研究了非Hermitian正定Toeplitz矩阵的m步多项式预处理子。
　　第五章为数值实验，验证本文提出的预处理子的有效性。

目录

声明

摘要

符号表

第一章 绪论

1．1 研究背景与意义

1．2 本文的研究内容及创新点

第二章 预备知识

2．1 相关定义的介绍

2．2 相关引理

第三章 几类迭代方法简介

3．1 古典迭代法

3．2 Krylov子空间方法

3．3 共轭梯度法(CG)

3．3．1 基本迭代格式

3．3．2 收敛性分析

第四章 正定Toeplitz矩阵的m-步预处理子

4．1 非Hermitian线性方程组的等价预处理

4．2 CSCS迭代方法

4．3 预条件子Pm的构造

4．4 Pm的收敛性分析

4．5 预条件子Pm的计算复杂度分析

第五章 数值实验

结论

参考文献

致谢

附录