关于计算凸域弦长分布函数的方法

摘要

积分几何(Integral Geometry)起源于著名的Buffon投针问题，也称为几何概率(Geometric Probability)，其实质就是通过各种积分来考察图形所具有的性质，因此本质上又属于微分几何.它的发展也始终和几何概率联系着.积分几何的思想是用概率的方法来研究凸体论及几何学。积分几何是数学的一门重要分支，它的应用和发展涉及代数学、偏微分方程、几何分析、凸几何、几何不等式等等。Santalo、严志达、吴大任、任德麟等前辈都为积分几何学做出了巨大的贡献。
　　 凸体理论中另一个重要的课题是凸域的弦长分布函数，它有许多应用背景(模式识别、材料统计分析等)，但迄今为止，现有文献中没有提供寻求凸域弦长分布函数的统一方法，本文以正三角形为例，讨论利用广义支持函数、限弦函数的概念来计算凸域的弦长分布函数的方法，该方法有普遍意义。
　　 凸几何是以凸集或凸性作为研究对象的几何学分支，19世纪下，Hermann Brunn和Hermann Minkowski对凸几何学的早期发展做了大量开创性的工作。Brunn-Minkowski理论是凸几何学的经典内容，其核心部分是Brunn-Minkowski理论和混合体积理论。它和数学分支的很多重要方面都有深刻的联系。20世纪80年代，E.Lutwak引入了对偶混合体积的概念，进一步丰富了凸体这一理论，并由此解决了许多长期未能取得进展的重要问题。目前这部分内容仍然是凸几何中最为活跃的研究方向。20世纪90年代起，我国数学家张高勇在几何不等式、Busemann-Petty问题的终极性解答等方面取得了十分杰出的成果。
　　 关于与仿射表面积有关的几何不等式也是重要的一方面，本文在张高勇老师得出的一些主要结论下讨论其中某些不等式的证明。