复杂系统动力学与随机媒质中界面生长的标度行为

摘要

本文主要研究复杂系统动力学和随机媒质中界面生长的标度行为。 本文首次研究了Bak-Sneppen(BS)模型的局域混沌性质。局域Lyapunov指数描述了动力学系统的演化轨道在外界扰动下的瞬时发散程度。BS模型作为一个复杂系统模型，在分析其混沌性质时存在两个困难：1．两个演化轨道的分离程度如何定义?2．怎样处理系统演化中固有的随机性?本文对于BS模型的局域李雅普诺夫指数(λ)的定义解决了上述两方面的困难，能够用来有效地分析BS模型的混沌性质。本文发现一维和二维BS模型在向自组织临界态演化的初期具有较大的λ值，随后逐渐减小并在经过一个极小值后再次增大最后趋于饱和。这表明BS模型在初期的演化过程中具有较高的规则性。λ极小值的出现意味着BS系统在此时具有最强的结构稳定性，λ随后增加并趋于饱和则反映BS系统进入自组织临界态后显著的混沌特性。一维和二维BS系统的λ值处在同一个量级，尤其是A的饱和值相似，说明系统维数对于BS模型的局域混沌性质影响很小。这正契合了这一事实：复杂系统在自组织临界态时具有的混沌并不是完全意义上的混沌，而是在扰动的作用下，系统可能变得完全混沌或者相反变得稳定规则的一种边缘混沌状态。 本文系统地分析了BS模型中的关联起伏。Detrended Fluctuation Analysis(DFA)这一标度分析方法首次被应用到复杂系统的关联起伏研究中。文中针对BS模型的三个典型物理量：最小适应值(minimun fitness)、最小适应值位置和临界阈值以下适应值活动格点的数目，分析了它们作为时间序列，其DFA均方根的标度性质。通过分析发现：BS模型演化中的最小适应值具有微弱的长程、无标度(seale-free)关联。最小适应值位置和阈值以下适应值数目所具有的RMS起伏与时间标度之间的关系不是一个简单的幂律形式，两者在较小的时间标度上均呈现出非常微弱的短程关联。而在特定的时间标度之上同样趋于饱和的RMS值则说明最小适应值位置和临界阈值以下适应值数目均具有很强的长程负关联，这一关联促使BS系统在大的时间标度上呈现出整体稳定性。此外本文还发现阈值以下适应值数目时间序列的功率谱是一个典型的1/f噪声。 Kardar-Parisi-Zhang(KPZ)方程是描述随机媒质中界面生长的最重要的演化方程。由KPZ方程出发，本文严格推导出了一维和二维KPZ界面粗糙度的标度化表达式。该表达式中的标度化函数Θ仅仅依赖于两个标度变量，这区别于在仔细分析该方程的结构和包含的内在规律之前给出的独立依赖于方程中所有五个参量的函数关系。数值模拟结果表明，只要两个标度变量的值不变，KPZ方程中的单个变量的变化对标度化函数Θ函数的标度行为没有影响，而Θ函数的标度行为只依赖于本文给出的两个标度变量。本文还严格地推导了基于Edward-Wilkinson(EW)方程的界面粗糙度的标度方程，发现该标度方程能够很好的描述Θ函数的标度行为。本文还简述了复杂系统动力学与非线性界面生长研究的前沿进展。文章最后还特别介绍了随机媒质中界面生长标度行为研究的新的理论方法。

目录

文摘

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第一章概述

第二章自组织临界性与自组织临界性模型

§2.1自组织临界性的起源、定义与发展

§2.2生命是自组织临界的吗?

§2.3自组织临界性模型与自组织临界性现象

§2.3.1沙堆模型

§ 2.3.2 Bak-Sneppen生物演化模型

§2.3.3森林火灾模型

§2.3.4交通流中的自组织临界性现象与最佳效率

§2.3.5金融市场中的自组织临界性现象

§2.4小结

第三章BS模型的混沌性质研究

§3.1复杂系统中的混沌

§ 3.2动力学系统演化中的结构稳定性

§ 3.3李雅普诺夫特征指数与局域李雅普诺夫特征指数

§ 3.4 BS模型演化中的混沌性质

§3.4.1一维BS模型的局域李雅普诺夫指数

§3.4.2二维BS模型的局域李雅普诺夫指数

§3.5小结

第四章BS模型中的起伏、关联研究

§4.1 BS模型中的起伏、关联与自组织临界性

§4.2去趋势涨落分析方法

§4.3基于DFA方法的BS模型的起伏关联分析

§4.3.1最小适应值的起伏关联

§ 4.3.2最小适应值位置的起伏关联

§4.3.3阈值以下适应值格点(Active site)数目的起伏关联

§ 4.3.4阈值以下适应值格点(Active site)数目起伏中的1/f噪声

§4.4小结

第五章随机媒质中生长界面的标度行为研究简介

§ 5.1理论背景与研究回顾

§5.2模型与方程介绍

§ 5.2.1 Random deposition model(RD)模型

§ 5.2.2弛豫表面的RD模型

§ 5.2.3 Restricted solid-on-solid model(RSOS)模型

§5.2.4 Ballistic Deposition(BD)模型

§ 5.2.5 Diffusion Limited Aggregation(DLA)模型

§5.2.6界面生长的连续方程

§5.2.7 Edward-Wilkinson(EW)方程

§ 5.2.8 Kardar-Parisi-Zhang(KPZ)方程

§5.3小结

第六章KPZ界面粗糙度的标度行为研究

§6.1 KPZ界面生长动力学简介

§6.2 KPZ界面粗糙度与Family-Vicsek标度形式

§6.3一维及二维KPZ界面粗糙度的标度行为研究

§6.3.1 KPZ方程的标度变换

§6.3.2 KPZ方程的离散化

§ 6.3.3一维KPZ界面粗糙度的标度行为

§6.3.4二维KPZ界面粗糙度的标度行为

§6.4小结

第七章工作总结和工作展望

§ 7.1工作总结

§7.2工作展望

§ 7.2.1 KPZ方程的自洽展开方法

§ 7.2.2基于有向雪崩过程的界面动力学分析

参考文献

发表论文和参加会议及报告目录

致谢