一类异指标分数阶Laplace方程组的正解的对称性

摘要

本文研究了以下的微分方程组{（-△）αi/2ui(x)=fi(ui+1(x))+gi(x),x∈Rn，i=1，…，m-1,（-△）αm/2un(x)=fm(u1(x))+gm(x)，x∈Rn，ui(x)≥0， x∈Rn， i=1，…，m，其中0＜αi＜2，i=1，…，m，n＞2.当f1，…，fm:R+→R和g1，…，gm:R+→R满足单调性条件和某种衰减性条件时，我们用移动平面法证明了方程组的正解为常数，或者关于Rn中某点径向对称，或者对每一个i∈{1，…，m}都有[fi(ti(x))+gi（x/|x|2）]/ti(x)pi在某个特定的集合Ei上为常数，其中ti(x)=|x|n-ai+1(u)i+1(x)(i=1，…，m-1)，tm(x)=|x|n-α1(u)1(x)，(u)i(x)是ui(x)的Kelvin变换.其次，当f1，…，fm:R+→R满足齐次条件且g1，…，gm:R+→R满足单调性条件时，我们建立了以上微分方程组和以下积分方程组{ui(x)=∫Rn Gi（x，y）[fi（ui+1（y））+gi(y)]dy， x∈Rn，i=1，…，m-1，um(x)=∫RnGm(x，y)[fm(u1(y))+ gm(y)]dy,x∈Rn，ui(x)≥0， x∈Rn，i=1，…，m，的等价性，并用积分形式的移动平面法证明了在临界情形其正解是径向对称的，而在次临界情形不存在正解.本文结果推广了Yan LI，Pei MA在《Science ChinaMathematics》1-20(2017)和Li D, Li Z在《Front.Math.China》389-402(2017)的工作.

目录

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摘要

第一章 研究的问题及主要结果

第二章 预备知识

2．1 基本定义

2．2 预备引理

第三章 定理1．1和定理1．2的证明

3．1 定理1．1的证明

3．2 定理1．2的证明

第四章 定理1．3和定理1．4的证明

4．1 临界情形时定理1．3和定理1．4的证明

4．2 次临界情形时定理1．3和定理1．4的证明

参考文献

附录

致谢