基于双互易法的杂交边界点法及其应用研究

摘要

近三十年来，无网格法作为对传统数值计算方法的一种补充和改进，得到了很大的发展。无网格法能够部分或者完全消除网格、前处理简单，这使得它具有传统的基于网格的数值方法所无法比拟的优势，尤其适用于材料弹塑性、裂纹扩展模拟及三维大规模分析等传统数值计算方法难以应用的领域。本文以一种纯边界类型的无网格法－杂交边界点法为研究对象，并重点介绍了杂交边界点法的基本理论。该方法结合修正变分原理和移动最小二乘近似，前处理简单，计算精度高，是一种具有显著优良特性的边界类型纯无网格法。然而，在求解含体力问题或动力问题等非齐次问题时，杂交边界点法需要计算域内积分，失去了其边界类型方法的优点。为此，本文将杂交边界点法和双互易法结合，成功的避免了域内积分的计算，将杂交边界点法的应用范围扩大到了瞬态涡流、弹性动力学等诸多领域中。本文主要完成了以下几个方面的工作：
　　 第一，首次将杂交边界点法应用于求解弹性断裂问题，使用扩充基函数来模拟裂纹尖端的奇异性，这样布置较少的节点就可以精确模拟裂纹尖端的应力场，从而减少了裂纹应力场计算的前处理工作量。
　　 第二，将双互易法和杂交边界点法结合，推导出了两种方法未知参数之间的关系，建立了杂交边界点法求解泊松方程的理论公式。该方法将问题的解分为齐次方程的通解和特解两部分，特解根据双互易法的思想使用径向基函数插值获得，齐次方程的通解则使用杂交边界点法求得，同时在杂交边界点法的应用过程中使用修正的边界条件。在实际计算中，为了提高计算精度，一般会在域内布置一些内点。但域内节点的布置只参与特解的径向基函数插值，不参与变量的插值和背景积分。因此，该方法是一种真正的边界类型纯无网格法，既不需要积分网格，也不需要插值网格。
　　 第三，应用杂交边界点法求解工程瞬态涡流问题。提出了此类问题的杂交边界点法理论和数值实现方案，编制了相应的计算程序。数值算例的结果表明，该方法具有较快的收敛性和较高的计算精度，非常适合求解电磁场瞬态涡流问题。
　　 第四，应用杂交边界点法求解亥姆霍兹方程。亥姆霍兹方程是一个波方程的时间调和解答，寻求高精度的数值解一直是计算力学界研究的主题。本文利用杂交边界点法建立的求解亥姆霍兹问题的系统方程，对两种具有不同支撑条件的振动梁的变形模态进行了分析，表明用该方法求解亥姆霍兹问题不仅计算精度高，而且收敛性好。
　　 第五，应用杂交边界点法求解弹性动力问题。将杂交边界点法和双互易法结合求解时域问题，给出了一套动力问题的理论计算公式，该公式同样可以推广到非均匀材料及非线性问题中去，编制了相应的程序，数值算例表明该算法适合求解弹性动力问题。
　　 第六，对算法中域内和边界节点的数量对计算精度的敏感性进行了分析，并得出了优化值。对于简单问题，域内节点的数量和位置对计算结果影响不大，对于复杂问题，域内节点数量对计算结果影响很大，一般只要域内节点数量取为边界节点数量的一半就可以得到相当满意的结果。
　　 本文的工作表明，杂交边界点法不但收敛速度快，而且计算精度高，同时前处理过程非常简单，因此该方法的应用前景十分可观。非常适合于求解弹性断裂问题、自适应问题和接触问题。