多尺度随机动力系统的慢流形--理论,逼近及其应用

摘要

自然科学和工程中的复杂动力系统经常包含多时间尺度,例如慢时间尺度和快时间尺度.同时,由于受到噪声的影响会有一些不确定性.例如,在各种自然环境下(比方说,在大气和海岸中)以及工程系统中(如,喷雾液滴)的气溶胶粒子和污染物粒子,是由耦合微分方程系统描述的.其中有些粒子运动地很快,有些粒子运动地很慢,并且它们经常会受到分子扩散、环境波动或者其它没有被明确刻画的小尺度机制的随机影响.这些耦合微分方程系统由随机常微分慢-快系统,随机偏微分慢-快系统或者微观-宏观随机慢-快系统刻画.对这些系统的探讨引起了研究者广泛的兴趣.
　　不变流形和不变叶状结构是研究不变集附近流/半流性质的基本工具.本文研究两时间尺度慢-快随机动力系统的慢流形及不变叶状结构.首先,我们考虑了慢-快随机动力系统的慢流形的存在性并对慢流形做了渐近展开,同时考虑了不变叶状结构的存在性及其渐近展开.我们还给出了慢流形指数吸收随机动力系统轨道的性质.将系统限制在慢流形上得到一个慢流形约化系统.然后,我们基于慢流形约化系统做了两个应用:研究了受噪声影响的惯性粒子的沉降问题和一个参数估计问题.
　　本文在第一章中,介绍了随机过程和随机动力系统理论中的一些基本概念和定义.
　　在第二章中,研究了噪声驱动的随机慢-快系统.这个系统中的快方程包含噪声项.不同于Schmalfuss和Schneider用的随机相像变换(randomgraphtransfor-mation)方法,我们用Lyapunov-Perron方法证明慢流形的存在性.同时给出了慢流形的表达式.进一步通过渐近展开得到慢流形的一个逼近表示.我们证明不变叶状结构的存在性,这个不变叶状结构是一个由初始点组成的不变集,每条枝上的初始点有相同的指数渐近关系.我们进一步对这个不变叶状结构的一条枝做渐近展开.最后给出一个例子将慢流形和不变叶状结构形象的展示出来.
　　第三章,是对上一章的慢流形约化系统的一个应用.我们考虑了随机扰动下惯性粒子(气溶胶粒子)的沉降问题.惯性粒子运动方程包含粒子位置变量和速度变量.通过慢流形可以消掉速度变量,得到一个仅含位置变量的约化系统.通过数值模拟粒子的首次逃离时和逃离概率,得到一些不同于确定情形的粒子运动动态结论.
　　在第四章中,进一步的我们对慢流形约化系统做一个应用.我们用一种新方法考虑一个参数估计问题.不同于用原慢-快系统做参数估计,在这里我们用慢流形约化系统做参数估计.基于慢流形约化系统的参数估计,仅需慢变量的观测数据,而无需不易观测或变化较快的快变量的观测数据.并且基于慢流形约化系统的估计值会很好的逼近于基于原慢-快系统的估计值.
　　在最后一章,我们对全文进行了总结并指出本文需要改进的工作.

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引言

1 预备知识

2 随机慢流形（random slow manifold）的逼近及维数约化

3 随机慢流形的应用-随机扰动下惯性粒子的沉降问题

4 随机慢流形的应用-参数估计

5 结束语

致谢

参考文献

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