谱方法求解Allen-Cahn方程与Cahn-Hilliard方程

摘要

谱方法是一类求解微分方程的数值方法，广泛应用于流体动力学、量子力学、材料科学、生态学等领域。我们在数值求解依赖于时间的偏微分方程时，一般会在空间方向上运用谱方法，在时间方向上采用有限差分法。由于非线性项和刚性问题的存在，时间方向上的计算大多数仅限制在二阶时间精度上，这样即使在空间方向上能够达到谱精度，时间方向上的低阶精度也会影响数值解的整体精度。
　　为了提高时间方向上精度，我们将详细介绍指数时间差分四阶龙格库塔方法（ETDRK4）。这种方法能够快速而又准确地解决一些偏微分方程，并且允许我们在实际计算中取较大的时间步长。同时，我们也将引入半隐式方法，旨在相同条件下与ETDRK4方法做比较。
　　本文的第一章首先简要介绍谱方法，接着对谱方法，半隐式方法和指数时间差分方法的研究现状进行了介绍，最后提出本文研究的主要内容。第二章主要回顾了Chebyshev谱方法和Fourier谱方法，涉及相应的定义、性质和微分矩阵的计算方法等等，并介绍了时间离散格式中的半隐式方法和ETDRK4方法。第三章和第四章用前面所讨论的方法对一维的Allen-Cahn方程和Cahn-Hilliard方程进行数值模拟。从误差、时间收敛阶和 CPU时间三个方面对不同的时间离散格式进行比较，并进行相应的有效性分析。此外，为了能够在实际计算中取到较大的时间步长，我们引入了Allen-Cahn方程和Cahn-Hilliard方程稳定的一阶半隐式格式，讨论了一阶半隐式格式的稳定性及稳定性参数对解精度的影响。最后将两类谱方法从一维问题推广到二维问题的求解中。第五章对全文所涉及的主要内容进行了总结和展望。

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1 绪论

1.1 谱方法简介

1.2 国内外研究概况

1.3 本文的主要研究内容

2 谱方法与时间离散方法

2.1 Fourier谱方法

2.2 Chebyshev谱方法

2.3 半隐式方法

2.4 指数时间差分四阶龙格-库塔（ETDRK4）方法

3 数值求解Allen-Cahn方程

3.1 半隐式方法解具有周期边值条件的Allen-Cahn方程

3.2 ETDRK4方法解具有周期边值条件的Allen-Cahn方程

3.3 Crank-Nicolson方法解具有Dirichlet边值条件的Allen-Cahn方程

3.4 ETDRK4方法解具有Dirichlet边值条件的Allen-Cahn方程

3.5 Allen-Cahn方程稳定的一阶半隐式格式

3.6 ETDRK4方法解二维的Allen-Cahn方程

4 数值求解Cahn-Hilliard方程

4.1 半隐式方法解具有周期边值条件的Cahn-Hilliard方程

4.2 ETDRK4方法解具有周期边值条件的Cahn-Hilliard方程

4.3 Crank-Nicolson 方法解具有齐次 Neumann 边值条件的Cahn-Hilliard方程

4.4 Cahn-Hilliard方程稳定的一阶半隐式格式

4.5 半隐式方法解二维Cahn-Hilliard方程

5 全文总结与展望

5.1 全文总结

5.2 课题展望

致谢

参考文献