高维协方差矩阵相关理论与应用研究——非线性压缩与金融实证

摘要

近十年来，对诸如股票市场高维数据的研究，尤其是有关高维数据二阶矩估计的理论方法以及基于高维数据二阶矩的预测，已成为计量经济学尤其是金融计量经济重要的学术前沿。估计高维数据二阶矩面临的挑战可以从横截面和时间序列两个视角进行探讨。从横截面的视角，主要挑战在于横截面的高维度，估计方法包括依赖于结构性外生假定的矩阵稀疏法、因子模型和基于随机矩阵理论的压缩方法。从时间序列的视角，主要考虑条件异方差性，最典型的模型为广义自回归条件异方差（GARCH）模型系列，包括VEC、BEKK、DCC模型等。尽管这两个分支的理论都发展快速，但却鲜有文献将两个维度视角下的理论方法有效结合，导致缺乏适用于高维金融实证的协方差矩阵估计方法。在此背景下，本文系统地研究这两个维度视角下高维协方差矩阵估计的相关理论和应用，并研究如何将其有效结合，以适用于高维金融实证领域。
　　从理论上，本文重点研究以下三类模型：高维因子模型、压缩方法，以及运用因子或压缩方法之一进行估计的GARCH模型。针对高维因子模型，本文对因子个数和因子模型的估计方法都进行了较为全面的解析，并重点解读了如何利用阈值函数得到协方差矩阵估计量。针对压缩方法，本文则详细阐述了三种常见的线性压缩估计量以及如何利用随机矩阵理论得到非线性可实现压缩估计量。在此基础上，本文重点研究如何将前述两种方法运用到GARCH模型的估计中，以实现高维GARCH模型的有效估计和预测，这体现了本文理论和方法的创新。在实证研究方面，本文在深刻理解各协方差矩阵估计方法的基础上，基于美国股市的数据，构建最小方差组合，以及分别考虑61个收益预测信号的Markowitz组合和Sorting组合，并利用不同的方法来估计样本外协方差矩阵，进而配置权重，构建高维金融资产组合。基于此进行预测，其结果是基于DCC-NL模型估计的协方差矩阵所构建的Markowitz组合具有最高的夏普尔率。无论从文献还是应用的角度看，本文首次基于DCC-NL模型估计的协方差矩阵构建高维Markowitz组合，并且基于此预测。本文的主要研究内容、研究结论及其创新意义概述如下：
　　第一，本文系统地研究了估计高维协方差矩阵的两类重要模型——因子和压缩，及其前沿发展方向。由于本文关注的问题是协方差矩阵的估计，所以，与一般的因子模型综述不同，本文除了梳理关于因子个数估计、因子模型设定和因子模型估计的方法论文献外，更侧重于解析如何对因子模型的残差协方差矩阵进行阈值假定，最终得到数据协方差矩阵的主成分正交补阈值估计量。另外，本文首次对压缩方法及其理论基础和背景进行较为详细的综述研究，包括三种线性压缩方法（分别是单位阵压缩、单指数模型压缩和等相关系数压缩）和基于QuEST函数的非线性压缩方法。这一综述性研究体现了本文对国际前沿的紧密跟踪和把握。
　　第二，本文深入研究了GARCH模型估计的前沿理论，在此基础上，将用最大似然法估计高维GARCH模型时存在的难题概括为两类，其一是需要多次对高维矩阵求逆，其二是待估参数过多。第一个问题用Engle等（2008）提出的复合拟最大似然法可以比较有效地解决；对于第二个问题，现在普遍接受的处理方法是用样本协方差矩阵替代冗余参数的极大似然估计量，但是，这一处理方法不具有一致性，在高维情况下会导致结果无效。
　　第三，本文创新性地提出将高维无条件协方差矩阵的估计方法运用到GARCH模型的估计中，并介绍了将因子模型思想运用到DCC模型估计的DCC-POET模型，以及将非线性压缩思想运用到DCC模型估计的DCC-NL模型。
　　第四，通过Monte Carlo模拟实验，本文验证了非线性压缩方法对估计DCC和BEKK模型的有效优化，并发现这种优化作用随着横截面维度和时间维度比值的增大而增强，且比线性压缩方法相对应的优化作用更显著。这是本文重要的理论贡献和创新。
　　第五，本文系统地搜集整理了现有权威文献认为表现显著的61个股市收益预测信号，包括动量、价值增长比、投资、盈利能力、无形资产、波动六类，在此基础上，本文给出了股市收益信号的因子得分的计算方法。这一工作不仅体现了本文在理论和方法上的价值，而且由于实际中，投资者往往借助多个与未来收益密切相关的指标构建投资组合，我们这一工作对实际投资者也有重要意义。
　　第六，通过构建美国股市的最小方差组合和基于61个收益预测信号的Markowitz组合与Sorting组合，本文进一步说明了运用非线性压缩方法估计GARCH模型对提高金融资产组合选择效率、降低组合风险、提高组合夏普尔比率的重要作用。据查阅文献，在研究协方差矩阵估计量样本外表现的金融实证中，本文考虑了最多、最全面的收益预测信号，同时，也将考察的资产维度从以往文献的200以下增加至1000。这充分说明了本文研究结论的稳健性，同时，更进一步体现本文的重要实证价值。

目录

声明

1 绪论

1.1 研究背景与意义

1.2 研究思路与结构安排

1.3 本文的主要创新之处

2 基于因子模型估计高维协方差矩阵

2.1基于可观测因子模型估计高维协方差矩阵

2.2基于潜因子模型估计高维协方差矩阵

2.3基于结构因子模型估计高维协方差矩阵

2.4基于高频数据的因子模型估计高维协方差矩阵

2.5本章总结

3 基于压缩方法估计高维协方差矩阵

3.1基于线性压缩法估计高维协方差矩阵

3.2基于非线性压缩法估计高维协方差矩阵

3.3本章总结

4 高维条件协方差矩阵的估计

4.1 GARCH模型

4.2 GARCH模型的估计

4.3高维GARCH模型的估计

4.4高维GARCH模型估计的Monte Carlo模拟

4.5 GARCH模型的高频扩展：HEAVY模型

4.6本章总结

5 实证应用：高维金融资产组合构建

5.1 收益预测信号

5.2 基于不同信号的金融资产组合构建

5.3 本章总结

6 研究结论

致谢

参考文献

附录 攻读学位期间发表的论文目录