作用在微分形式上的若干算子范数不等式的研究

摘要

微分形式是微分流形上定义的反对称协变张量场，在一般相对论，弹性理论，电磁学和微分几何等领域有广泛的应用。因此，在不同的领域中，微分形式是一个很有价值的工具。近几年，关于微分形式算子理论的研究已取得一些进展，其中关于Dirac算子、Green算子、同伦算子以及Hardy-Littlewood极大算子等的研究已经有了一些成果，本文针对这几种算子的复合算子进行了进一步的研究，得到了复合算子在不同微分形式空间中的几种范数不等式。
　　论文首先介绍了作用在微分形式上的一些算子，包括同伦算子T，Dirac算子D和Green算子G的定义。然后，利用复合算子T(o)D(o)G作用在微分形式上的Ls范数不等式，证明了复合算子T(o)D(o)G作用在微分形式上的Lipschitz与BMO范数不等式。最后，应用严格递增凸函数的性质和逆Holder不等式，证明了复合算子T(o)D(o)G关于A-调和方程解的Lipschitz与BMO范数比较不等式。
　　针对同伦算子与Green算子的复合算子，本文利用同伦算子对微分形式的分解和Green算子在Ls空间的范数不等式，建立了关于复合算子T(o)G的强(p，q)型范数比较不等式，并且应用连续函数的性质及复合算子T(o)G的强(p，q)型范数比较不等式得到了复合算子T(o)G关于非齐次A-调和方程解的加幂型权的范数估计。
　　最后利用关于Hardy-Littlewood极大算子M的一个弱型不等式将在Orlicz空间中关于Hardy-Littlewood极大算子M的一个反加权不等式推广到微分形式上，得到反加权不等式的一个充要条件。进一步证明了当1≤s＜p＜∞时，在加权Lp空间中，u(x)的Lp范数能被Msu（x)来控制，即关于作用在微分形式上的极大算子的反加权不等式。最后，证明了当极大算子作用在权函数上时，关于极大算子Ms的嵌入不等式成立。

目录

声明

摘要

第1章 绪论

1．1 课题来源和研究的目的及意义

1．1．1 课题来源

1．1．2 课题研究的目的及意义

1．2 国内外研究发展状况

1．2．1 若干算子的国内外研究发展状况

1．2．2 存在的问题及有待研究的内容

1．3 主要研究内容

1．3．2 复合算子T(。)G的加幂型权的范数估计

1．3．3 关于H-L极大算子的反加权范数不等式

1．4 本章小结

第2章 复合算子T(。)D(。)G的Lipschitz与BMO范数不等式

2．1 预备知识

2．2 在微分形式上T(。)D(。)G的Lipschitz和BMO范数不等式

2．3 本章小结

第3章 复合算子T(。)G的加幂型权的范数估计

3．1 预备知识

3．2 作用在微分形式上关于复合算子T(。)G的范数估计

3．3 本章小结

第4章 关于H-L极大算子的反加权范数不等式

4．1 预备知识

4．2 作用在微分形式上关于极大算子的反加权不等式

4．3 作用在权函数上关于极大算子Ms的嵌入不等式

4．4 本章小结

结论

参考文献

攻读硕士学位期间发表的学术论文

致谢