矩阵空间之间的保持问题

摘要

刻画矩阵集之间保持不变量的映射结构问题被称为保持问题.近几十年来,保持问题已成为国际矩阵论研究中一个十分活跃的领域.这一方面是因为它具有重要的理论价值;另一方面是因为许多问题在量子力学、微分几何、微分方程、系统控制和数理统计等领域有着广泛的实际应用背景;再者,通过对保持问题的研究可以得到关于矩阵的不变量、函数、集合和关系等重要理论成果.
　　从映射的角度来说,保持问题可分为：线性保持问题、加法保持问题和更一般的保持问题.从保持的不变量的角度来说,保持问题可分为:保持子集、保持关系、保持函数和保持变换.
　　本文针对矩阵空间之间的几个保持问题进行了系统的研究,概括起来有以下几个方面:
　　(1)利用交错矩阵空间Kn(F)上保持秩2和秩4矩阵的结论,刻画了不同维的交错矩阵空间之间保持伴随矩阵的线性映射φ:Kn(F)→Km(F)的形式,证明其可以归结到同维的情形.
　　(2)利用上三角矩阵空间Tn(F)上保持秩1矩阵的的结论,刻画了Tn(F)上保持秩可加的线性映射的形式.同时,作为应用,还刻画了Tn(F)上保持秩可减的线性映射的形式,以及Tn(F)上使得“rank(A+B)=|rankArankB|rankφ(A+B)=|rankφ(A)rankφ(B)|”成立的线性映射φ的形式.
　　(3)就域F的特征不为2和为2两种情况,分别刻画了从Sn(F)到Mm(F)及从Sn(F)到Sm(F)保持群逆的线性映射的形式.
　　(4)利用上三角矩阵空间Tn(F)上保持秩1矩阵的结论,刻画了Tn(F)上保持秩交换的加法满射的形式.
　　(5)刻画了特征不为2的体K上矩阵空间Mn(K)上保持某种非平凡乘性矩阵函数的加法满射的形式.同时,作为应用,分别刻画了特征不为2的体K上矩阵空间Mn(K)上的保持Dieudonn′e行列式和保持可逆矩阵的加法满射,以及保持秩可加的加法双射,同时也刻画了四元数体Q上矩阵空间Mn(Q)上保持行列式detq的加法满射.

目录

矩阵空间之间的保持问题

PRESERVING PROBLEMS BETWEENMATRIX SPACES

摘要

Abstract

Contents

第1章 绪论

1.1数学符号

1.2 课题背景及意义

1.3 国内外在该方向的研究现状及分析

1.3.1 ±?3???ì?μ?à?D?

1.3.2 ±?3???ì?μ?????·???

1.4 本文的主要工作

第2章 交错矩阵空间之间保持伴随矩阵的线性映射

2.1 引言

2.2 相关引理

2.3 几个命题和主要结果

2.4 本章小结

第3 章上三角矩阵空间上保持秩可加的线性映射

3.1 引言

3.2 秩可加的一些性质

3.3 主要结果和应用

3.4 本章小结

第4 章矩阵空间之间保持群逆的线性映射

4.1 引言

4.2 立方幂等阵的一些性质

4.3 主要结果和推论

4.4 本章小结

第5 章上三角矩阵空间上保持秩交换的加法映射

5.1 引言

5.2 秩交换的一些性质

5.3 主要结果和反例

5.4 本章小结

保持某种乘性函数的加法变换

6.1 引言

6.2 乘性矩阵函数的性质

6.3 主要结果和应用

6.4 本章小结

结论

参考文献

攻读博士学位期间所发表的论文

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致谢

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