复合算子P·T的范数估计

摘要

微分形式作为函数形式的一种推广,在近代数学的许多领域得到了迅速的发展。基于微分形式的算子范数理论,不但在传统的偏微分方程、调和分析、非线性位势理论、拟共形映射等领域中有着深入的研究,同时在近代理论物理学中的广义相对论及弹性理论中也有着广泛的应用。非齐次A-调和方程作为一类特殊的非线性椭圆偏微分方程,具有深刻的物理学和力学背景,因此基于微分形式的非齐次A-调和方程解上的PT算子的范数理论具有广泛的研究意义与价值。
　　本文主要工作总结如下:
　　第一部分首先介绍了n上的卷积型位势算子P和同伦算子T的定义,并利用两种算子的基本性质,给出了复合算子PT在n上的局部强(),pp型估计。
　　第二部分要在复合算子PT的局部强(),pp型估计的基础上,建立局部Caccioppoli型估计。为了使得到的结果应用更加广泛,利用权函数的定义及性质给出相应的加权范数估计式。如()A单权Caccioppoli型估计、()rAEλ双权rCaccioppoli型估计。
　　第三部分在已有估计式的基础上,建立作用于微分形式上的复合算子PT?的Poincaré型估计式。针对非齐次A调和张量,给出上述Poincaré型估计式的AEλ单权和()r(),AEλ双权形式。
　　第四部分利用微分形式的Lipschitz范数和BMO范数的定义及性质,结合复合算子PT的Poincaré型估计,建立作用于非齐次A调和张量上的Lipschitz估计式以及BMO范数比较不等式。

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第1章 绪 论

1.1微分形式相关知识简介

1.1.1微分形式初步

1.1.2外微分式运算令

1.2 A?调和方程与A?调和张量简介

1.3本文主要工作

第2章 复合算子P·T的Caccioppoli型估计

2.1复合算子P·T的局部强( ),p p 型不等式

2.1.1 所示，其核函数Φ满足弱增长条件H ，且对 n? 中任意的方体Q ，存在常数

2.1.1 中的条件，T为同伦算子；则对D中任意的球体B ，存在一个与u无关的常数 0C> ，使得

2.2复合算子P·T的Caccioppoli型估计

2.3带 ( ) A ? 单权形式的Caccioppoli型估计r

2.4加 ( ) A Eλ 双权形式的Caccioppoli型估计r

2.5本章小结

第3章 复合算子P·T的Poincaré型估计上一章得到了复合算子P T? 的 Caccioppoli 型估计以及单权 ( )

3.1复合算子P·T的Poincaré型估计

3.2带 ( ), A Eλ 单权形式的Poincaré型估计r

3.3加 ( ) A Eλ 双权形式的Poincaré型估计r ,

3.4 Lipschitz范数估计式

3.5 BMO范数比较式

3.6本章小结

结 论

参考文献

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