黎曼流形上的Sobolev嵌入不等式

摘要

微分流形目前已经成为数学领域中最基本、最活跃的分支之一。虽然流形是一个很抽象的空间,但是其许多复杂的结构均可用欧式空间相关的性质来处理和表示。所以流形不仅成为了数学上的重要研究对象,同时它也被广泛地应用在物理上,并且也得到了许多相当好的应用。
　　在本文中,我们主要讨论微分流形上的Sobolev嵌入不等式。Sobolev嵌入不等式已经发展成为了研究变分学、分析数学、几何测度论以及偏微分方程解正则性理论的重要工具。本文中首先介绍了微分流形上的相关概念以及理论。之后主要讨论两种Sobolev嵌入不等式:局部上的Sobolev嵌入不等式和全局上的Sobolev嵌入不等式。最后又讨论了黎曼流形上加双权的Sobolev嵌入不等式。

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第1章 绪 论

1.1 Sobolev嵌入不等式的来源和意义

1.2 国内外在该方向的研究现状及分析

1.3 微分流形的相关知识

1.4 本文主要工作

第2章 Riemann流形上的Sobolev嵌入不等式

2.1 Riemann流形上的相关定义、积分及测度

2.2 Riemann流形上局部的Sobolev嵌入不等式

2.3 Riemann流形上的全局Sobolev嵌入不等式

2.4 本章小结

第3章 黎曼流形上加权的Sobolev嵌入不等式

3.1 黎曼流形上的权函数

3.2 黎曼流形上关于双加权的Sobolev嵌入不等式

3.3 本章小结

结论

参考文献

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