四阶椭圆问题及四阶椭圆奇异摄动问题的非协调有限元方法

摘要

本篇博士论文主要研究四阶椭圆边值问题和带有小参数(ε)的四阶椭圆奇异摄动问题的有限元解.首先，针对四阶椭圆问题的C0非协调元，我们提出一个抽象的收敛性定理.这是一个框架性的理论结果，它不仅为单元构造提供了新的思路而且使得在三维空间中构造高阶收敛的单元成为可能.从而填补了这一研究方向的空白.其基本思想是利用泡函数把形函数空间分成两个子空间，其中一个子空间是专门负责整体的C0连续性和逼近误差.另一个含有泡函数的子空间是专门负责形函数在单元边界上的法向导数跨过单元边界的连续性和相容误差.这样得到的单元插值矩阵是分块的三角矩阵，从而大大简化了单元适定性的证明.
　　 然后，利用上述方法，针对不同的求解区域，我们在常用的剖分网格上构造了一些二阶收敛的有限元.如，三角形元、矩形元、四面体元、长方体元和三棱柱元.同时我们也构造了一些一阶收敛的单元，这一方面丰富了四阶椭圆问题的非协调元方法的内容，另一方面展示了我们方法的系统性.
　　 其次，我们将前面构造的一阶收敛的单元应用到四阶奇异摄动问题，得到了一致收敛的结果.
　　 最后，给出数值算例来验证我们的理论结果.
　　 全文有如下六部分组成.
　　 第一章绪论，在这里，我们介绍了与本文相关四阶椭圆边值问题的研究现状和背景知识，给出了有限元方法的一些基本定理和常用不等式.
　　 第二章简述了四阶椭圆边值问题的非协调元，给出非协调元的一个抽象的收敛性定理，为如何构造高阶的非协调元建立了一个理论框架.
　　 第三章利用泡函数，构造了三个C0非协调元求解二维空间中薄板弯曲问题.其中一个是一阶收敛的矩形元，另两个是二阶收敛的三角形元和矩形元.同时我们也分析了文献中的一个一阶收敛的三角形元.
　　 第四章与上一章类似，我们构造了五个非协调有限元求解三维空间中的双调和方程.其中两个是一阶收敛的长方体元和三棱柱元，另外三个分别是二阶收敛的四面体元、长方体元和三棱柱元，并给出收敛性证明.同时我们也证明了文献中的一个一阶收敛的四面体元的收敛性.
　　 第五章介绍了四阶椭圆奇异摄动问题的研究背景，将一些单元应用到四阶椭圆奇异摄动问题，得到了一致性收敛性的结果.
　　 第六章数值算例，本章通过一些数值算例来验证我们的理论结果.

目录

声明

摘要

第1章 绪论

1．1 概述

1．2 四阶椭圆问题的研究现状

1．3 本文的主要工作

1．4 预备知识

1．4．1 Sobolev空间及嵌入定理

1．4．2 几个常用不等式

1．4．3 有限元空间及其性质

1．4．4 Lax-Milgram引理、Céa引l理和Strange引理

第2章 一个抽象的收敛性定理

第3章 二维空间中板弯曲问题的非协调有限元方法

3．1 三角形单元

3．1．1 一阶收敛的三角形单元

3．1．2 二阶收敛的三角形单元

3．2 矩形单元

3．2．1 一阶收敛矩形单元

3．2．2 二阶收敛矩形单元

3．3 收敛性分析

第4章 三维空间中双调和方程的非协调有限元方法

4．1 四面体单元

4．1．1 C0T1元-一阶四面体单元

4．1．2 C0T2元-二阶四面体单元

4．2 长方体单元

4．2．1 C0C1元-一阶长方体单元

4．2．2 C0C2元-二阶长方体单元

4．3 三棱柱单元

4．3．1 C0TP1元-一阶三棱柱单元

4．3．2 C0TP2元-二阶三棱柱单元

4．4 收敛性分析

第5章 四阶椭圆奇异摄动方程的非协调有限元分析

5．1 四阶椭圆奇异摄动问题的研究现状

5．2 二维情况

5．2．1 矩形单元

5．2．2 一致收敛性分析

5．3 三维情况

5．3．1 长方体单元

5．3．2 三棱柱单元

5．3．3 一致收敛性分析

第6章 数值算例

参考文献

个人简历、在学期间发表的学术论文与研究成果

致谢