四阶椭圆方程的非协调有限元方法

摘要

在论文中,我们主要讨论了四阶椭圆问题的一些非协调有限元逼近。由于技术上的困难,我们通常采用非协调有限元来逼近四阶问题。但是,并不是所有的板元对四阶奇异摄动问题都关于摄动参数一致收敛,而且大多数的讨论都是在网格满足正则性条件或拟一致假设的前提下进行的。本文主要是在不同的网格剖分下讨论了一些非协调板元应用到四阶板弯曲问题和四阶奇异摄动问题时的收敛性。
　　 第一章,我们给出了一些基本空间的定义,记号和有限元方法的一些基础知识以及其相关的性质。
　　 第二章,我们给出了两个Morley型的非C0非协调板元在各向异性网格下对四阶板弯曲问题的逼近,利用Poincaré不等式得到了插值误差的一个显式估计,通过引入特殊的插值算子得到了相容误差的估计,从而证明了收敛性结果,得到了能量模和零模意义下和正则网格下相同的收敛速度,相应的数值例子再次验证了我们的理论分析。
　　 第三章,我们首先通过一个反例说明了第二章中的第一个Morley型的非C0非协调板元逼近像Poisson方程这样的二阶问题时并不收敛,这就意味着该单元在通常的有限元离散格式下逼近四阶奇异摄动问题时关于奇异摄动参数不是一致收敛的。接着,我们证明了它在一个修正的有限元离散格式下是收敛的,并且在各向异性网格下也得到了关于摄动参数一致收敛的估计结果,并进行了相关的数值试验。最后,我们证明了无论网格是否满足正则性条件或拟一致假设,第二章中的第二个Morley型非协调板元逼近四阶奇异摄动问题时关于奇异摄动参数都是一致收敛的。由于该单元也是非C0的,这就表明对四阶奇异摄动问题的收敛性并不要求有限元空间一定是H1的子空间。最后的数值例子再次表明了该单元的有效性。
　　 第四章,在本章中,我们首先证明了一类C0型非协调板元逼近四阶奇异摄动问题时的一个一般收敛性结果,并给出了边界层情形时的误差分析,得到了只依赖于右端项的误差估计。接着,我们分析了一个双参数三角形元的性质,利用前面的结论得到了相应的收敛性结果,最后,我们也进行了相关的数值试验。