循环多胞形的对偶与单形乘积空间上小覆盖分类问题研究

摘要

小覆盖是一个闭流形Mn，其上局部标准(Z2)n-作用的轨道空间恰好是简单凸多胞形Pn.令△n表示n维单形，Pnm表示有m个顶点的n维循环多胞形Cn(m)的对偶.
　　本文根据简单凸多胞形P36×△n1×△n2的组合结构性质，决定了当1≤n1≤2，n2≥1时，其上小覆盖的D-J等价类和等变同胚类数目，以及当n1=1时，其上可定向小覆盖的D-J等价类和等变同胚类数目.全文分为以下四部分:
　　第一部分回顾了与小覆盖以及可定向小覆盖相关的基本概念和性质.令∧(Pn)与O（Pn）分别表示Pn上的示性函数及可定向示性函数所组成的集合.Aut（F（Pn））表示Pn的所有面构成的偏序集上的自同构群，则一般线性群GL(n，Z2)在(∧)（Pn）上作用的轨道数目与Pn上小覆盖的D-J等价类数目相一致，而(∧)(Pn)在Aut(F(Pn))作用下的示性函数的等价类决定着Pn上小覆盖的等变同胚类.对于Pn上小覆盖的可定向性有一个判别准则，并且类似可得GL(n，Z2)在O(Pn)上作用的轨道数目就是Pn上可定向小覆盖的D-J等价类数目，而O(Pn)在Aut(F(Pn))作用下的可定向示性函数的等价类决定了Pn上可定向小覆盖的等变同胚类.
　　第二部分首先讨论了P36×I2上小覆盖的D-J等价类数目，这一过程还可通过R程序来实现，从而求得全部示性函数的个数.在此基础上，充分利用P36×I2的组合特点，找到Aut(F(P36×I2)）的生成元，再由Burnside引理得到Aut(F(P36×I2))在∧(P36× I2)上作用的轨道数目，从而给出P36×I2上小覆盖的等变同胚类的数目.其次根据Pn上的小覆盖是可定向的充要条件可知P36×I2上存在可定向小覆盖，并决定了可定向小覆盖在D-J等价和等变同胚意义下的分类数目.
　　第三部分给出了P36×I×△n(n≥2)上小覆盖与可定向小覆盖的D-J等价类的数目，再通过考虑Aut(F(P36×I×△n)）分别在A(P36×I×△n)与O(P36×I×△n)上的作用，决定了P36×I×△n(n≥2)上小覆盖在未定向及可定向时的等变同胚类的数目.
　　第四部分决定了P36×△2×△n（n≥2）上小覆盖的在D-J等价与等变同胚意义下的分类数目.

目录

声明

摘要

引言

第一章 预备知识

1．1 基本概念

1．2 示性函数与小覆盖的关系

1．3 可定向小覆盖

第二章 乘积空间P36×I2上的小覆盖

2．1 P36×I2上小覆盖的D-J等价类

2．2 P36×I2上小覆盖的等变同胚类

2．3 P36×I2上的可定向小覆盖

第三章 乘积空间P36×I×Δ2(n≥2)上的小覆盖

3．1 P36×I×Δn上小覆盖的D-J等价类

3．2 P36×I×Δn礼上小覆盖的等变同胚类

3．3 P36×I×Δn上的可定向小覆盖

第四章 乘积空间P36×Δ2×Δn(n≥2)上的小覆盖

4．1 P36×Δ2×Δn上小覆盖的D-J等价类

4．2 P36×Δ2×Δn(n≥2)上小覆盖的等变同胚类

结论

参考文献

附录

后记

攻读学位期间取得的科研成果清单