n-李代数的复化和实单n-李代数的分类

摘要

早在1985年,Filippov在他的文章(参见[3])中提出现在被称为n-李代数的概念之后,作为李代数的自然推广,许多数学工作者将n-李代数和李代数进行细致的比较分析,将李代数中很多重要的结果推广到n-李代数,(可见后面所列参考文献),这些结果同时也表明n-李代数保持了李代数的一些好的性质和结构.就李代数而言,单李代数的复化和复李代数的实形是一个非常重要的问题,同时其分类也是人们关注的焦点,本文将这两个结论放在n-李代数中进行深入的研究.在本文的第一节中,给出了n-李代数的定义及其相关概念和一些基本性质,尤其是可解和半单的两种定义方式,并给出了一般向量空间中容许复结构、正则复结构等定义.第二节中,我们首先将容许复结构的理论在n-李代数中提出,由此相应得到了关于实n-李代数的复化,复n-李代数的实形式等概念.其次,我们做了复n-李代数到自身的一个映射,其满足四条性质,称之为由相应实n-李代数决定的共轭,并验证了此映射的不动点集就是复n-李代数的一个实形式.接着我们讨论了实n-李代数V、其复化V以及将复化看成实n-李代数VR,三者的Kiling型之间的关系,证明了他们的Killing型是同时退化或非退化的;根据文章[12]已经验证了的结论:特征为0的代数闭域上的n-李代数是2-半单的当且仅当它的Killing型非退化,最终我们得到了特征为0的代数闭域上的n-李代数同时2-半单或非2-半单.在本文的第三节,我们主要研究了实单n-李代数的分类问题.依据其复化是否为单,将其分成两类,并给出了关于第二类实单n-李代数的两个重要结论:结论一,一个实单n-李代数存在容许复结构当且仅当它是第二类的;结论二,第二类实单n-李代数实际上是把一个复单n-李代数看成实的.并借助这些结论进一步研究明确了(n+1)维实单n-李代数的实质和种类.

目录

文摘

英文文摘

0.Introduction

1.Preliminaries

2.The Complexification of Real n-Lie Algebras and the Real Forms of Complex n-Lie gebras

3.The Classification of Real Simple n-Lie Algebras

References

Acknowledgements