在时间标度上的一阶脉冲发展方程解的存在性与唯一性

摘要

在现实生活中，我们用数学方法来处理各种自然现象中的问题时，不仅碰到连续的问题，而且碰到离散的问题。有时一个问题当中既有连续的成分，又有离散的成分。或者此问题到底是连续问题还是离散问题，我们并不清楚。这给我们的研究带来了不便。 为了统一离散分析和连续分析，StefanHilger于1988年在他的博士论文中提出了时间标度的概念。由于时间标度在物理学、化学技术、经济学、种群动态、神经网络、社会科学上的应用，近年来受到广泛的关注。如生物学中，某一种昆虫的数量在某一季节连续地增长，在冬季死亡。它们的虫卵就冬眠，在下一季节孵化成虫。它们的繁殖时间是有间隔的，是不连续的。只有在时间标度上来进行研究。 对于通常意义下的脉冲发展方程，在有限维空间中，一阶、二阶非线性的脉冲发展方程已经研究过了(见[5])。在无限维空间中，从上世纪末开始N.U.Ahmed等人研究了一阶半线性的脉冲发展方程(见[15])，包括我们也研究了半线性的脉冲发展方程和强非线性的脉冲发展方程(见[24]，[23])。 在本世纪，已经有一些人开始讨论在时间标度上的初边值问题解的存在性。但只有两篇文章研究在时间标度上的脉冲发展方程。然而他们的假设条件太强了，例如在[9]中，作者用Leray-Sahauder不动点理论研究解的存在性。由于方法的限制，只能得到解的存在性，未得到解的唯一性。本论文继续对非线性脉冲发展方程进行研究。在相当弱的条件下的得到解的存在性，并解决了唯一性问题。 本文包括两个主要结果： 1.在函数f(t,y)满足李普希兹条件时，用Leray-Sahauder不动点理论解决了解的存在性问题，并用时间标度上的Gronwall不等式解决了解的唯一性问题。 2.在函数f(t，y)满足局部李普希兹条件和线性增长条件时，用压缩映像原理同时证明了解的存在性和唯一性。 本文的主要内容有： I.准备知识 由于时间标度是一个新的领域，为此收集了近百篇关于时间标度方面的资料(包括专著和论文)。并对这些资料进行了分析、归类和整理，作为论文研究的基础。 在第二章详细地介绍了在时间标度上的一些基本概念、基本定义、基本定理和基本运算。 1)时间标度的基本概念：时间标度、右移算子、谷函数、区间、左稠点、左发散点、右稠点、右发散点、数学归纳法(见2.1节)。 2)微分和积分定义，以及基本运算和定理(见2.2和2.3节)。 3)时间标度上的复合函数的求导法则、回归函数的定义和基本性质、多项式的定义和基本性质、以及其它结果(见2.4至2.7节)。 4)函数导数和积分的具体的例子(见2.8节)。 在第三章介绍了在时间标度上的指数函数(见3.1节)、在时间标度上的微分方程的初边值问题(见3.2节)、在时间标度上的Gronwall不等式(见3.3节)。 Ⅱ.主要结果 本论文考虑在时间标度上如下的一阶脉冲发展方程： y△(t)+p(t)yσ(t)=f(t，y(t))，t∈T：=[a，b]，t≠t_{k}，k=1,...，m(1) y(t+k)=Ik(y(t-k))，k=1,...,m(2) y(a)=η，(3) 1.f(t，y)满足李普希兹条件的情形 假设： (H1)存在一个常数C，使得|η|＜C和|Ik(y)|＜C,对任意k=1,...,m，y∈R都成立。 (H2)函数f:[a,b]×R→R是连续的，并且满足|f(t，y1)-f(t，y2)|≤L1|y1-y2|；其中t∈[a,b]，y1，y2∈R. 定理1.假设(H1)和(H2)成立，则在时间标度上的脉冲初值问题(1)-(3)至少有一个解。 定理2.假设(H1)和(H2)成立，则在时间标度上的脉冲初值问题(1)-(3)有且仅有一个解。 2.f(t,y)满足局部李普希兹和线性增长条件的情形 假设： (H3)函数f:[a,b]×R→R是局部李普希兹连续的，即ρ＞0，存在一个正数L(ρ)使得|f(t,y1)-f(t，y2)|≤L(ρ)|y1-y2|；其中t∈[a,b]，|y1|＜ρ，|y2|＜ρ.此外f(t,y)服从线性增长条件：|f(t，y)|＜L(1+|y|)，()(t，y)∈[a,b]×R其中L是一个大于0的常数。 定理3.假设(H1)和(H3)成立，则在时间标度上的脉冲初值问题(1)-(3)有唯一解. 本文的特点和创新之处： 1)时间标度是新领域，选取时间标度意义下的脉冲非线性发展方程作为研究对象，对完善时间标度意义下的微分方程理论有一定意义。进入一个新领域的研究有助于提高我们的科研能力。 2)我们的结果是在相当弱的条件下得到的(特别是定理4.2.1)。不仅得到解的存在性，也得到解的唯一性。我们的结果与经典结果十分相似。 3)方法上我们不仅用Leray-Sahauder不动点定理，也用了压缩映像原理和Gronwall不等式。特别在应用压缩映像原理时，我们克服了时间标度意义下难于计算的问题。

目录

文摘

英文文摘

Chapter 1 Introduction

Chapter 2 The Time Scales Calculus

Chapter 3 Equations and Dynamic Inequalities

Chapter 4 Main Results

Acknowledgements

Bibliography

附录

原创性声明及关于学位论文使用授权的声明