托普利兹方程组的基于嵌入法的预处理矩阵

摘要

托普利兹(Toeplitz)系统在数学、科学计算和工程学等领域都有广泛应用, 例如, 求解偏微分方程, 卷积类型积分方程的数值解, 统计上的静态的自回归时间数列问题, 控制论上的最优化问题, 以及图象处理领域里如何实现系统辨识问题中的信号处理和图象恢复问题等等都可以转化为托普利兹方程组或包含托普利兹方程组Tx = b以及最小二乘问题min kb ? Txk2的求解问题。
　　 本文主要考虑用预处理共轭梯度法求解托普利兹方程组和BTTB方程组, 以及用预处理共轭梯度法求解托普利兹最小二乘问题和BTTB最小二乘问题。利用嵌入法结合卷积核构造预处理矩阵, 使得预处理矩阵对非负的生成函数都有定义, 推广了前人的结果。数值结果表明, 对于BTTB系统和BTTB最小二乘问题, 运用嵌入法构造的预处理矩阵的效率高于块循环预处理矩阵。在这个计算的过程中主要应用一维和二维的快速傅立叶变换以及它们的逆变换。
　　 本研究分为三个部分：第一章介绍本文的研究背景以及总结前人得到的一些研究成果, 包括托普利兹矩阵, BTTB矩阵的定义以及它们的生成函数, 同时也给出与本文有关的一些符号、基本概念和基本定理. 最后介绍托普利兹和BTTB最小二乘问题的预处理共轭梯度法的研究背景；第二章, 详细讨论托普利兹方程组和BTTB方程组的预处理共轭梯度法。重点证明基于BTTB矩阵的分解构造的预处理矩阵与嵌入构造的预处理矩阵是等价的. 从而用嵌入法构造的预处理矩阵是有效的预处理矩阵。 数值例子表明本文所构造的预处理矩阵比通常使用的块循环预处理因子更有效；第三章讨论托普利兹最小二乘问题和BTTB最小二乘问题的预处理共轭梯度法，将第二章的结果推广到最小二乘问题。数值例子表明本文所构造的预处理矩阵比通常所用的块循环预处理因子更有效。