托普利兹矩阵的一种分解带状逆预处理矩阵

摘要

托普利兹(Toeplitz)系统被广泛应用于数学、科学计算和工程学等领域。例如，偏微分方程，卷积类型积分方程的数值解，控制论中的最优化问题，以及信号处理和图象恢复问题等等都可以转化为托普利兹方程组或包含托普利兹方程组或托普利兹最小二乘问题，参见[7，13，18]。二十多年来，托普利兹方程组的预处理共轭梯度法(PCG)是许多数学家关心的问题。
　　 在1986年，Strang和Olkin独立地提出了使用循环矩阵的预处理共轭梯度法(PCG)去解决托普利兹系统，见[1，7]。接着，一些比较好的循环预处理被提出来用于解决此类问题，如Tony Chan和R．Chan分别提出了新的循环预处理，见[6，10，12]。循环预处理的最大优点在于与快速傅里叶变换(FFT)的结合，相比求解托普利兹方程组的直接方法而言，PCG方法的计算复杂度大大降低，只需要O(nlogn)（其中n是方程组的阶数）次运算。其它的比较好的预处理方法有基于三角变换的预处理，基于Hartley变换的预处理等等，见[2，5，11，19]。
　　 由于每一个托普利兹矩阵对应一个生成函数f，也就是说托普利兹矩阵是由其生成函数决定的。所以我们可以从生成函数入手来构造好的预处理，例如利用卷积或三角多项式等来逼近，见[7]。当生成函数是正值偶函数的时候，对应的托普利兹矩阵是良态对称正定的．当生成函数带有偶数阶零点时，这时对应的系统就是病态的．针对这情形，带状预处理矩阵是一个比较好的选择。R．Chan提出了由三角多项式夕生成的带状矩阵来做预处理，这里g包含原生成函数的零点，见[4].此后R．Chan和Tang利用某种逼近拓展了该方法，见[9]。D. Noutsos和P．Vassalos提出了一种用带状矩阵乘循环矩阵的方法来构造预处理，见[19]。
　　 稀疏近似逆是构造预处理矩阵的另一主要方法，著名的有Kolotilina和Yeremm，Tang等等，见[16，21]。由于构造稀疏近似逆预处理矩阵和预处理步骤都具有天然的并行性，所以这种方法可以很好地应用于现代大型的并行机，在2005年，Lin，Ng和Ching对托普利兹系统应用了稀疏近似逆，得到了一种分解带状逆预处理(FBIP)，研究表明当托普利兹矩阵具有某种非对角元素下降性质且相应的生成函数为正值函数时，这种预处理会是一种很好的方法，参看[17]。本文对FBIP提出了一种修正的方法，使得新的方法可应用于生成函数连续且非负的情形。重点分析应用分解逆预处理后PCG的收敛性质，然后用Matlab实现该方法，并与现有的方法进行比较。

目录

文摘

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第1章 基础知识和研究背景

第2章 一个修正分解逆预处理矩阵

参考文献

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