几类多种群生物系统的动力学分析与同步

摘要

随着全球气候变暖、人口急速增长和自然环境恶化,地球上有很多物种都濒临灭绝。保持生物种群的稳定性,维持生物资源的多样性一直以来都是生物工作者所关心的问题。本文从非线性动力学的角度出发,建立了多个种群相互作用的生物数学模型,并深入地研究了模型的动力学行为,主要研究成果如下:
　　 首先,以一类带有庇护区的模型为例利用Lyapunov稳定性理论、分岔、相图、时间响应、胞映射等工具研究了离散种群模型的稳定性。主要成果如下:①活性种群和庇护区内的种群在相同参数组下的分岔图仍有可能不同,研究表明这是由模型的生物意义所决定的；②该离散种群模型在多数参数组下是由倍周期分岔道路通向混沌的,但有可能由周期-1运动状态直接进入周期-4运动状态,也有可能由周期-1运动状态直接到拟周期运动状态(Neimark-Sacker分岔)；③绘制了系统的吸引盆,研究了模型的多吸引子共存性,也就是说当选取不同的初值时系统最终可能会被吸引到不同的吸引子上；④发现了当系统选择一定的参数时,系统在经倍周期分岔的过程中存在着“低头”现象,而进入混沌状态后又存在着“散乱”现象(即:混沌区域的边缘不光滑)；⑤最后,讨论了参数的选取对模型生物意义的影响:活性种群的迁入率和迁出率的选择一定要适当,如果迁入率过小而迁出率过大会造成庇护区内的种群密度过大,而不利于种群的繁衍；反之,若迁入率过大而迁出率过小则不利于对种群的保护(即,造成庇护区失效)。而损耗率无论在什么情形下都不能太大。
　　 其次,建立了两类不同的连续种群动力学模型,并利用Kolmogorov定理和Lyapunov稳定性定理分析了两类不同生物模型的稳定性,分别得到了系统具有稳定平衡点和稳定极限环的条件。发现了系统通过倍周期分岔通向混沌的道路,同时我们还发现了周期泡、混沌泡等动力学行为。“混沌泡”指的是系统由周期-1→周期-2→周期-4→……→混沌→……→周期4→周期-2→周期-1的动力学行为,而“周期泡”指的是系统由周期-1→周期-2→周期-1的动力学行为,这是我们首次发现这种奇特的现象。此外,还发现了对生物模型一般需要很长时间的演化才能确定系统的运动状态,这也是为什么很少在生物模型中检测到混沌的原因之一。除此之外,我们还发现了在种群模型中混沌现象只在参数空间中的很少一部份的参数组下才能发现,这也是在自然界中的生物系统很少检测到混沌现象的另外一个主要原因。
　　 最后,讨论了两类连续种群动力学模型:无脊椎模型和有脊椎模型的同步。通过设计有效的自适应控制策略很容易的实现了对无脊椎模型自身以及无脊椎模型与有脊椎模型之间的同步。由此可以判断对于大自然中的生物系统而言,两个或多个生物系统之间的同步行为是广泛存在的。最后,通过设计有效的反同步控制策略,实现了两个完全相同的无脊椎模型在不同初始条件下的同步控制。