两类具Michaelis-Menten型收获的捕食系统的稳定性与分支分析

摘要

本文着重研究了两类带有Michaelis-Menten型收获的食饵-捕食系统的稳定性以及分支，其主干内容分别是在第二章与第三章这两章中完成的，主要工作及结论如下:
　　第二章研究了一类食饵种群带有Michaelis-Menten型收获项的Leslie-Gower型捕食系统，考察了该系统的稳定性以及其中各种分支的存在性等动力学问题。该章的主要理论依据是微分方程的定性与稳定性理论、分支理论和规范性理论等。文章首先探究了系统各类有效平衡点的存在性，通过选取适当的参数作为分析参数，得到了各自平衡点存在时的具体对应条件。其次，研究这些平衡点在其相应存在条件下的稳定性，针对不同情形，分别采取了特征值分析法、线性化法等方法进行分析，得出边界平衡点在其存在条件下都不稳定，而正平衡点在其不同存在条件下则可能分别以汇点、源点、中心、鞍结点、尖点等类型出现的结论。最后，还研究了该系统中的一些分支，包括鞍结分支、Hopf分支和Bogdanov-Takens分支，通过选取恰当的参数作为分支参数，分别计算给出了具体分支点，并通过验证横截条件的方法严格证明了鞍结分支、Hopf分支的存在性，利用第一李雅普诺夫方法给出了Hopf分支的方向，还通过规范型理论的应用论证了该系统中余维2的Bogdanov-Takens分支的存在性，得到了二阶截断规范型以及分支曲线表达式等。
　　第三章探讨了一类带有食饵种群成熟时滞和捕食者种群Michaelis-Menten型收获的捕食系统，研究其系统的稳定性和Hopf分支等动力学行为。这章研究的主要理论基础是微分方程的稳定性理论、Hopf分支理论和时滞泛函微分方程理论。文章给出了系统存在惟一正平衡点时的参数条件，并通过分析特征方程，利用Hurwitz判别法，得到了系统正平衡点局部渐近稳定的充要条件。另外，文章还通过选取时滞量作为分析参数，对系统特征方程特征根的实部进行分析，得到了系统保持局部渐近稳定的参数区间，并且给出具体的临界滞量值，论证得出了当该时滞参数穿越该临界值时系统就会发生Hopf分支的结论。
　　本文在主要理论结果得出之后，还借助Matlab进行了相应的数值模拟，验证了其结论的准确性。

目录

声明

摘要

1．1 课题研究背景及其现状

1．2 本文主要研究内容

第二章 一类具有Michaelis-Menten型食饵收获的食饵-捕食系统的稳定性与分支

2．1 平衡点的存在性

2．1．1 边界平衡点的存在性

2．1．2 正平衡点的存在性

2．2 平衡点的稳定性

2．2．1 边界平衡点的稳定性

2．2．2 正平衡点的稳定性

2．3 分支分析

2．3．1 鞍结分支

2．3．2 Hopf分支

2．3．3 Bogdanov-Takens分支

第三章 一类具有时滞和Michaelis-Menten型捕食者收获的食饵-捕食系统的稳定性与Hopf分支

3．1 正平衡点的存在性、惟一性

3．2 正平衡点的局部渐近稳定性

3．3 Hopf分支

3．4 数值模拟

总结

致谢

参考文献

攻读学位期间的研究成果