分数阶广义热弹性理论下多场耦合问题动态响应研究

摘要

经典傅里叶热传导理论中描述，热的传播速度是无限大的，热流矢量与温度梯度成正比。如果热作用时间较长，呈现稳态传热状态，采用经典热传导定律描述，结果是足够精确的。如果传热条件比较极端，热的传播会呈现出非傅里叶现象，于是各种非傅里叶导热模型应运而生，如C-V波模型、单相滞后双曲热传导模型、双曲两步模型、双相滞后模型、三相滞后热传导模型及热-质模型等。非傅里叶热传导理论的发展过程中,学者们发现热波的存在，即热以有限速度进行传播，于是出现各种广义热弹耦合理论。考虑空间宏观、时间微尺度情况，广义热弹耦合理论包括：Lord和Shulman理论（含一个热松弛时间）、Green和Lindsay理论（含两个热松弛时间）及Green和Naghdi理论（能量不耗散）等。对于许多的材料模型（如粘弹性材料、多孔材料、生物材料、有机材料及聚合物等）和物理过程（如异常传导、反常扩散等），由于具有记忆依赖的特点，其热弹行为已经难以用传统的热弹理论有效描述。于是分数阶微积分算子被逐渐引入热传导方程，建立了分数阶广义热弹耦合理论。
　　本文着眼于热弹性力学、分数阶微积分的学科交叉，基于分数阶广义热弹耦合理论，对空间宏观、时间微尺度的压电热弹多场耦合问题，含有球腔无限大体的热冲击动态响应问题及半空间无限大弹性体的二维电磁热弹问题进行研究。根据所研究问题的维数，结合弹性介质的具体形状、受力情况、初始条件及约束情况等，建立上述问题的分数阶广义热弹多场耦合力学模型，寻求有效解析计算方法，进而获得所涉及物理量的分布规律。得到如下主要结论：
　　（1）对于空间宏观、时间微尺度的压电热弹多场耦合问题，考虑材料属性不变、材料属性随坐标梯度变化及材料属性随温度连续变化三种情况进行研究，借助于拉普拉斯变换及其反变换技术，得到热源移动时温度、位移、应力及电势的动态响应。从分析结果可以看出：分数阶参数、热源速度会对所涉及物理量产生重要影响。同时，随坐标梯度变化及随温度连续变化的材料参数也会影响所涉及物理量的分布规律。
　　材料属性不变情况下，当分数阶参数确定时，位移峰值绝对值、电势及温度峰值、应力绝对值随着热源速度的增加而降低；当热源保持一定速度时，位移峰值绝对值、电势及温度峰值、应力绝对值随着分数阶参数的增加而增加。
　　材料属性随坐标梯度变化情况下，随着分数阶参数的增大，位移、应力、温度及电势等的峰值绝对值相应增大，热波速和应力波速相应减小；随着坐标梯度材料属性随温度连续变化情况下，分数阶参数及热源速度不变时，温度峰值、位移峰值绝对值及应力绝对值均随温度连续变化的材料参数的增加而增加；随着分数阶参数的增大，热波速和应力波速相应减小。
　　（2）对于含有球腔无限大体的热冲击动态响应问题，由于热冲击的作用，含有球腔的无限大体产生热变形，进而产生位移和应力，体现了热弹性耦合效应。随着时间延长，热弹耦合效应由球腔处向无限体内逐渐延伸；分数阶参数对各物理量的分布规律有显著影响，随着分数阶参数的增大，温度、位移、径向应力及环向应力的波动周期会随之减小。
　　（3）对于半空间无限大弹性体的二维电磁热弹动态响应问题，运用正则模态法，得到热冲击载荷作用下温度、位移、应力的动态响应。从分析结果可以看出：分数阶参数对所涉及的物理量有重要影响，随着分数阶参数的增加，热波波速会随之降低；对于二维问题，无量纲位移、温度、应力等的变化趋势不仅与时间变量有关，还与空间变量有关。

目录

声明

第一章 绪 论

1.1 引言

1.2热弹理论的研究发展现状

1.3 本文的主要内容及研究方法

第二章 分数阶微积分的定义及其求解方法

2.1引言

2.2 分数阶微积分理论及其定义

2.3分数阶微分方程的求解方法

2.4小结

第三章 分数阶热弹理论下受移动热源作用时压电杆的动态响应

3.1引言

3.2压电热弹问题基本方程

3.3压电热弹问题求解

3.4拉普拉斯数值反变换

3.5压电热弹问题数值结果及讨论

3.6小结

第四章 分数阶广义热弹理论下功能梯度压电杆的瞬态响应

4.1引言

4.2功能梯度压电问题基本方程

4.3功能梯度压电问题求解

4.4功能梯度压电问题数值结果及讨论

4.5小结

第五章 分数阶热弹理论下材料特性随温度变化的压电热弹问题研究

5.1引言

5.2材料特性随温度变化问题描述

5.3材料特性随温度变化问题求解

5.4材料特性随温度变化问题数值结果及讨论

5.5小结

第六章 分数阶热弹理论下含有球腔无限大体的热冲击动态响应

6.1引言

6.2含有球腔无限大体问题描述

6.3含有球腔无限大体问题求解

6.4拉普拉斯数值反变换

6.5含有球腔无限大体问题数值结果及讨论

6.6小结

第七章 分数阶热弹理论下的二维电磁热弹多场耦合问题

7.1引言

7.2二维电磁热弹问题基本方程

7.3二维电磁热弹问题描述

7.4二维电磁热弹问题正则模态分析

7.5二维电磁热弹问题数值结果及讨论

7.6小结

总结及展望

总结

展望

参考文献

致谢

附录 A 攻读学位期间发表的学术论文