完全非线性一致椭圆和抛物方程黏性解的研究

摘要

本文研究了一类完全非线性椭圆方程黏性爆破解的存在性、唯一性及边界渐近行为.该研究主要是基于以下两个方面：其一,从上世纪至今,半线性及拟线性椭圆方程解的边界爆破问题已得到了充分的研究 [2-6,8-12,23-24,26-27,59-62,64-67,106-109,155-157],其中Keller [57]和Osserman [132]发现了关于爆破解存在的充要条件; 其二，S.Alarcò和 A.Quaas [133]结合了黏性解理论把半线性问题中的爆破解的存在性理论延拓到完全非线性问题中去. 基于以上文献的成果,首先,我们研究了下列一类与梯度有关的完全非线性椭圆边界爆破问题(此处为方程省略)其中Ω是RN中C2有界区域,F是完全非线性椭圆算子. 我们证明了该问题的黏性爆破解的存在性、唯一性,并给出了其边界附近的渐近行为. 其次,研究了下列带有权的完全非线性椭圆算子问题(此处为方程省略)其中Ω是RN中C2有界区域,F是完全非线性椭圆算子,权函数α(x)非负连续,β为单调递增连续函数. 我们证明了该问题的黏性爆破解的存在性与唯一性并给出了解的边界渐近行为. 进一步地,我们又研究了下列带有连续权且依赖于空间变量x及Du的完全非线性椭圆爆破问题(此处为方程省略)这里Ω是RN中C2有界区域,F是完全非线性椭圆算子,权函数α(x)非负连续,β为单调递增连续函数.我们证明了该问题的黏性爆破解的存在性、边界渐近行为与唯一性. 最后,本文还讨论了下列具有梯度超线性增长的完全非线性抛物问题(此处为方程省略)其中F:RN×(0,T)×R×RN×SN→R,H:RN×(0,T)×RN→R和f:RN×(0,T)→R是给定的,未知实值函数u定义在RN×(0,T)RN×(0,T)上,Du和D2u分别表示关于变量H的梯度和Hessian矩阵,ψ是初值条件,特别强调的是H关于Du是超线性增长的. 我们证明了该问题黏性解的比较原理成立,并把此结果延伸到单调抛物系统上来.

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