三角级数中若干收敛性问题的研究

摘要

收敛性问题是Fourier级数中的核心问题之一.自从上世纪Lusin猜想的证明开始，关于函数满足一定可积条件下的Fourier级数的收敛性问题得到长足的发展.而从系数数列所满足的单调条件来分别考虑Fourier级数或者三角级数的一致收敛性以及平均收敛性的工作起源于英国学者Chaundy和Jolliffe在1916年的工作及Young在1913年的工作，由此产生了大量优秀的成果.从最开始的递减条件到最终本质上不能减弱的MVBV条件.我们的主要工作就是研究若干经典Fourier问题在单调性上的推广，内容包含四个方面:一是Besov类的嵌入关系;二是一个重要三角不等式的若干推广;三是在MVBV条件下Fourier级数的矩阵强逼近的嵌入性质;四是一类二元正弦积分的一致收敛性.
　　全文共分为五章:第一章，首先介绍本文所涉及的基本定义以及记号，然后介绍了若干单调性条件的定义，最后以一致收敛性和L1收敛性为例介绍在这些单调性条件上的已有研究结果.
　　在第二章中，我们首次给出在两类分组单调性条件（GBV条件和MVBV条件）下关于Besov类的嵌入性质:首先讨论了两个Besov类的相互嵌入关系，其次Lp空间中k-阶光滑模的一个等价估计，优于文[71]的结果，最后给出具有Fourier展开的Lp可积函数属于Besov类的所应具备的条件.
　　在第三章中，我们根据三角级数和三角积分的关系，推广了Fourier分析中一个重要的三角不等式，建立相对应的三角积分不等式，并得到了在MVBV条件下的推广，同时还通过举例说明MVBV条件是保证三角积分不等式成立本质上不可再减弱的单调性条件，最后还建立三角不等式与三角积分不等式在二元单调性条件和极限MVBV条件上的推广.
　　在第四章中，我们给出了在MVBV条件下和β（β＞0）阶光滑模下关于Fourier级数矩阵强逼近的嵌入性质.
　　在第五章中，首次提出了两个新的二元函数类:SBVDF1(IR2)和SBVDF2(IR2+)，同时定义了二元正弦积分的形式微分和形式积分，发现MVBVDF(IR2+)仍能保持形式微分或形式积分的正则一致收敛性，但对于SBVDF1(IR2+)和SBVDF2（IR2+），该性质不一定成立，这和一维情形有差异，同时得到了SBVDF2（IR2+）和MVBVDF(IR+2)的关系，最后还发现了SBVDF2（IR2+）只能使得正则一致收敛性的充分性成立，这是由于极值和积分在二元情形下不可交换的原因造成的，因此只能在SBVDF1（IR2+）的情况下讨论其必要性，这一点和一维情形也有相同.最后一小节，定义了关于二元三角级数的形式微分和形式积分，并得到在MVBVDS下的若干性质.

目录

声明

摘要

第一章 绪论

§1．1 基本概念和记号

§1．2 单调性条件及其各种推广

§1．3 单调性条件的应用

第二章 Besov类的嵌入关系

§2．1 引言

§2．2 主要结果

§2．3 相关引理

§2．4 结论的证明

第三章 一个三角不等式的推广

§3．1 引言

§3．2 主要结果

§3．3 结论的证明

§3．4 延伸结论

第四章 MVBV条件下Fourier级数的矩阵强逼近的嵌入性质

§4．1 引言

§4．2 相关引理

§4．3 结论的证明

第五章 一类二元正弦积分的一致收敛性

§5．1 前言

§5．2 主要结果

§5．3 相关引理

§5．4 结论的证明

§5．5 二元三角级数情形

参考文献

攻读博士学位期间的研究成果

致谢