环上Jordan高阶导子的某些刻画

摘要

假设A是一个结合代数,研究代数A上的(非)线性映射对认识代数A的结构性质和分类是很有意义的.更具体而言,我们通常关心两类映射:一类是保持各种代数运算的态射,如同构、Lie同构、Jordan同构等;另一类是满足类似Leibniz公式的各种映射,如导子、Lie导子、Jordan导子等.本文主要研究这样一个问题,在什么条件下或者说在什么代数中, Jordan高阶导子会退化为高阶导子?
　　首先,本文将从内高阶导子的角度思考上述问题.我们将先回顾一下在无扭环上 Jordan高阶导子可以写成 Jordan导子的复合的线性组合这一已知结论.接着,我们将要介绍内高阶导子的两种等价定义及其例子.最后我们证明了,若代数A上的Jordan导子是内的,那么Jordan高阶导子也是内的.
　　其次,我们将从 Jordan同态的角度考虑上述问题.我们将利用 Jacobson和Rickart在文章[1]中给出的关于Jordan导子和Jordan同态之间的一个定理,推广到高阶导子的情形.特别地,我们将刻画出非交换环上全矩阵代数的Jordan高阶导子的具体形式.
　　最后,我们将从 Hochschild2-闭链的角度考虑上述问题.我们先简要地介绍一下Hochschild上同调.然后我们利用斜对称的Hochschild2-闭链证明了:若代数A的二阶导出Lie代数生成的结合子代数等于A本身,那么A上的Jordan高阶导子会退化为高阶导子.最后,我们将这一思考方式运用到半素环上,给出了文章[2]中主要定理的一个新的证明.

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第1章 引言

1.1 基本概念

1.2 背景及意义

1.3 论文结构与主要结论

第2章 高阶导子的内性

2.1 无扭环上的Jordan高阶导子

2.2 内高阶导子及其等价定义

2.3 主要结果及证明

第3章 Jordan同态

3.1 Jordan同态及Jordan高阶导子

3.2 全矩阵代数上的Jordan高阶导子

第4章 Hochschild 2-闭链

4.1 Hochschild上同调

4.2 Hochschild 2-闭链与Jordan高阶导子

4.3 半素环上的Jordan高阶导子

第5章 总结

5.1 研究总结

5.2 下一步要开展的工作

参考文献

致谢

个人简历、在学期间发表的学术论文与研究成果