广义逆基于空间映射性质上的新的构造及其在线性模型中的应用

摘要

广义逆矩阵是上世纪矩阵理论中的一项极为重要的新发现，它的重要应用领域之一是概率统计，特别是在线性模型，多元统计分析的参数估计方面，应用更为广泛。因此对广义逆研究就显得尤为必要。本文介绍作者近几年来在广义逆方面作的一些研究性工作，着重介绍了对广义逆展开一种新的视角，以及建立在这种新视角上面的广义逆的全新的构造方法。主要内容如下： 1.首先给出了作者对基于{2}-逆上面的几种广义逆：{2，3}-逆,{2，4}-逆和{2，3，4}-逆的研究，着重在代数的层面上给出了这几种广义逆的构造和性质。 2.一直以来，人们对广义逆的研究都是从代数的角度出发，通过矩阵的拆分，合并，运算给出广义逆的各种构造，性质和计算方法。本文打破了这种传统的研究思路，对广义逆展开一种新的视角，第一次正式的把广义逆作为映射空间中的逆算子来看待，研究了{1}-逆，{2}-逆和{1，2}-逆在映射空间上的“几何特性”，给出了它们的空间映射性质，并且从空间映射的角度揭示了{1}-逆和{2}-逆这两种逆算子的最为本质的差别。同时对{1}-逆和{2}-逆以前的一些性质，也给出了它们在空间映射意义上的重新证明和解释。 3.基于广义逆的空间映射性质，作者给出了广义逆矩阵的一种全新的构造理论和计算方法。较之以前的各种构造方法，本文的结果更为简明。 4.列举了广义逆在线性模型中的一些重要的应用。凡这些应用的地方，都可以用到本文给出的计算广义逆的方法，特别是在当设计阵 和误差协方差阵 的数据较繁杂的情况下，对减少了计算量，降低了操作难度都有实际的意义。