奇异线性模型的有偏估计和因子分析模型的研究

摘要

在研究线性模型的时候，矩阵知识是不可或缺的，其中矩阵广义逆的知识显得尤为重要。本文首先给出并研究了矩阵的左对称因子、右对称因子及对称因子在代数上的各种构造和性质，并结合{2}-逆的研究，给出了在给定列空间和零空间时{2，3}-逆和{2，4}-逆的构造，为广义逆研究提供了全新的思路。 有关线性模型中有偏估计的研究一直是统计学中回归分析的一个热点问题。基于最小二乘理论在处理设计阵复共线性问题上的不足，线性有偏估计则是改进最小二乘估计的最直接方法。但是，目前所研究的线性模型的有偏估计大都是在非奇异线性模型(协方差阵为正定阵)的情况之下进行的，为了研究奇异线性模型的有偏估计，本文对最小二乘统一理论提出了新的思考。因为很多非奇异线性模型下的结论，在用最小二乘统一理论之后，大都可以得到相应的奇异线性模型下的结果，但在最小二乘统一理论中 T 的构造可知它不一定可逆，这导致了一些非奇异线性模型下的结论，在用最小二乘统一理论后，仍然不可以得到或很难得到相应的在奇异线性模型下的结论，所以本文提出了岭型最小二乘统一理论，它提供了一种在最小二乘统一理论失效或者处理起来相对困难的情况之下解决这类问题的一种方法。接下来就针对线性模型(包括奇异、非奇异、降秩、满秩的情况)设计阵的病态问题，考虑了回归系数的椭球约束，获得了在椭球约束下的任意线性模型的参数估计，并进一步研究了它的一些性质：并在非奇异线性模型的统一有偏估计的基础上，给出了奇异线性模型的统一有偏估计以及一些特殊的有偏估计，并进一步讨论了奇异模型的统一有偏估计及其性质， 最后本文讨论了因子分析模型，提出了不需将收集到的样本经过标准化这条性质。并用该模型对50家上市公司的2005年三季的财务报表进行分析，提取了三个很有解释性的公共因子。最后，通过因子得分给出了这些股票的综合评价。

目录

文摘

英文文摘

声明

1绪论

1.1线性模型最小二乘估计的发展历史

1.2最小二乘估计的不足与有偏估计的发展

1.3本文主要研究工作

2预备知识

2.1简记

2.2矩阵的对角化

2.2.1奇异值分解

2.2.2谱分解

2.2.3同时对角化

2.3广义逆

2.4幂等阵与投影阵

2.5矩阵微商

2.6 Cauchy-Schwarz不等式

3矩阵对称因子的构造及其在广义逆研究中的应用

3.1矩阵右对称因子的研究

3.1.1右对称因子的构造

3.1.2右对称因子的性质

3.1.3具有固定秩的右对称因子的构造

3.1.4给定列空间和零空间的右对称因子的构造

3.2矩阵左对称因子的研究

3.2.1左对称因子的构造

3.2.2左对阵因子的性质

3.2.3具有固定秩的左对称因子的构造

3.2.4给定列空间和零空间的左对称因子的构造

3.3矩阵对称因子的研究

3.4对给定列空间和零空间的{2，3}-逆的研究

4最小二乘统一理论及其一些新思考

4.1最小二乘统一理论

4.2最小二乘统一理论的一些新思考

5奇异线性模型的椭球约束与广义岭型估计

5.1椭球约束下线性模型的参数估计

5.2线性模型的广义岭型估计的性质

6奇异线性模型的统一有偏估计

6.1 奇异线性模型的统一有偏估计

6.2奇异线性模型的统一有偏估计的性质

7因子分析模型与股票组合投资的实证分析

7.1 因子分析模型

7.1.1因子分析模型

7.1.2因子分析模型的性质

7.1.3因子分析模型的变形

7.2实证分析

7.2.1考察原有变量是否适合进行因子分析

7.2.2因子的提取

7.2.3因子的命名解释

7.2.4计算因子得分

7.2.5综合评价

7.3结论

8总结与展望

8.1 总结

8.2展望

致 谢

参考文献

附 录