边值问题求解的径向基函数方法及其关键问题研究

摘要

在电磁计算中,基于网格剖分和局部近似技术的网格方法通常面临场域剖分困境以及计算精度与计算量间的矛盾,而径向基函数(Radial Basis Function, RBF)法已在数据插值及微分方程求解方面得到了广泛应用,并逐步形成一类配点型无网格法。考虑到工程电磁场问题的复杂性及多样性,RBF无网格法在电磁计算领域的研究与应用尚未达到系统与完善的地步,因此,论文将对边值问题求解的径向基函数方法及其关键问题进行研究,以期解决RBF方法在电磁计算中的部分问题,这对于无网格法乃至计算电磁学方法的扩展和应用具有重要的研究意义。
　　论文依据上述思路,开展的主要工作及其研究成果如下:
　　①研究RBF插值与边值问题求解的基本原理及实施过程,通过具体的数值仿真实例,说明RBF配点法在数据插值及边值问题求解中的有效性。在较少的节点数配置下,它不仅能取得较高精度,而且实施过程简单,充分体现了它在数值计算中的优势。
　　②针对MQ插值中形状参数选取尚未达成共识,本文提出从插值问题中共同存在的刚度矩阵为出发点的研究角度,指出插值精度和稳定性与条件数相关,进而从数值角度研究条件数与节点数和形状参数的关系。结合条件数变化特征,在选定范围内可给出节点数和形状参数的选取区间,为 MQ参数设置提供参考,最后通过插值实验反映了参数选取方法的适用性。
　　③将径向基函数法与虚边界元法相结合,形成了电磁计算中的RBF-虚边界法。该方法兼备RBF法和虚边界元法的特点,克服了传统边界元法的一些局限,既避免了传统边界元法中的奇异积分和边界层效应,又摆脱了边界单元剖分对求解的限制,使求解仅关注于边界上离散的节点信息,简化了计算过程。同时,计算实例表明虚边界的结构信息对结果影响不明显,反映了方法的灵活性。
　　④在多媒质边值问题中,存在分界面上位函数导数的不连续性,本文提出分区逼近方案并通过典型实例对其可行性进行验证;为有效求解电磁场中的无界问题,论文尝试将径向基函数与渐近边界条件相结合用于无界静态电磁场的数值计算,充分发挥两者各自的特点,最后通过典型的计算实例反映了它在无界问题求解中的适用性。