径向基函数方法在分数阶微分方程数值解中的应用

摘要

分数阶微分方程是一类将经典整数阶微分方程中的导数定义用分数阶导数替换而获得的微分方程。在实际应用过程中，分数阶方程比整数阶方程更能准确的模拟自然现象。本文主要讨论径向基函数方法在分数阶微分数值解中的应用问题。为了简便起见，本文以分数阶扩散方程和分数阶对流扩散方程为例对分数阶导数α的取值范围分别0＜α＜1为和1＜α＜2的情形进行阐述，需要注意的是，本文的算法对其他类似类型的方程仍然有效。首先利用差分方法对分数阶的时间导数进行离散，本文采用类似于整数阶的Crank-Nicolson的离散形式，构造出了无条件稳定的时间离散格式，并对这个离散格式的逼近能力进行讨论。随后用径向基函数方法对空间导数进行逼近，得到迭代算法。和传统的有限差分方法比较，我们的算法用更少的节点就可以得到比较满意的逼近能力，为了验证算法的有效性，论文的最后部分利用matlab编程对算法进行实现。

目录

摘要

第1章 绪论

1．1 分数阶微分方程发展历程

1．2 分数阶微分方程研究现状

1．3 研究内容

1．4 本文结构

第2章 预备知识

2．1 径向基函数基本理论

2．1．1 径向基函数基础

2．1．2 径向基函数插值

2．1．3 径向基函数对高阶导数的逼近

2．2 分数阶导数

2．2．1 两类特殊函数的定义和性质

2．2．2 三种分数阶导数的定义

2．2．3 三种分数阶导数的关系

第3章 分数阶扩散方程类型的微分方程

3．1 分数阶时间导数离散

3．2 Crank-Nicolson方法

3．3 径向基函数方法在空间方向上的离散

3．4 数值例子

第4章 分数阶扩散波方程类型的微分方程

4．1 对分数阶时间导数进行离散

4．2 径向基函数方法在空间方向上的离散

4．3 数值例子

4．3．1 时间分数阶扩散波方程

4．3．2 时间分数阶sine-Gordon方程

4．3．3 线性时间分数阶Klein-Gordon方程

4．3．4 分数阶耗散Klein-Gordon方程

第5章 结论与展望

参考文献

致谢

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