截断Toeplitz算子与Bergman空间上的乘法算子

摘要

算子理论是泛函分析的重要组成部分.作为是算子理论的重要分支,解析函数空间上的算子理论，一直得到国内外学者的持续关注.因为Toeplitz算子理论是解析函数空间上的一类非常重要的算子，所以 Toeplitz算子的研究虽然已经超过半个世纪,取得了大量的成果,但直到今天 Toeplitz算子的相关研究依然很活跃.主要的原因包括下面两个方面:一方面,Toeplitz算子与von Neumann代数、非交换几何、随机矩阵、量子信息、工程控制理论等有密切的关系;另外一方面，研究函数空间上的Toeplitz算子和Toeplitz代数无论是对数学科学本身,还是对物理学以及工程技术的发展都会起着紧要的作用.本文主要研究模型空间(Model space)上的截断Toeplitz算子和Bergman空间上的乘法算子.
　　首先，我们研究了模型空间上的截断Toeplitz算子的紧性. Hardy空间上有界的Toeplitz算子的符号是唯一的,而模型空间上有界的截断Toeplitz算子对应的符号是不唯一的. Baranov，Chalendar，Fricain已经构造出了没有有界符号的有界的截断Toeplitz算子.所以,本文只考虑具有有界符号的截断 Toeplitz算子的紧性.我们主要利用Hardy空间上的Hankel算子的乘积和函数代数中极大理想空间的相关技巧，得到了具有有界符号的截断Toeplitz算子的紧性的充分必要条件.这样，Sarason和Bessonov关于截断Toeplitz算子紧性的结果只是这个充分必要条件的特殊情况.
　　其次,我们研究了Bergman空间上的乘法算子生成的von Neumann代数的性质和可交换性.在高维区域上的Bergman空间，考虑以全纯真映射为符号的乘法算子生成的von Neumann代数的性质和可交换性.在一些有趣的情形下,这些性质依赖于一个特殊的黎曼流形.算子理论,几何和复分析在研究中交互出现.
　　最后，我们总结了本学位论文研究的主要结果,并提出本文尚未克服的困难和希望进一步考虑的问题.

目录

1 绪 论

1.1截断Toeplitz算子的研究背景及现状

1.2截断Toeplitz算子的紧性

1.3 Bergman空间上的乘法算子的研究背景及现状

1.4 Bergman空间上的乘法算子

1.5本文的结构安排

2 模型空间与截断Toeplitz算子的基本知识

2.1 Hilbert空间上的算子理论基础

2.2模型空间

2.3截断Toeplitz算子

3 一致代数

3.1 引言

3.2 Banach 代数

3.3表示测度

4 模型空间上截断Toeplitz算子的紧性

4.1零秩截断Toeplitz算子

4.2有限秩截断Toeplitz算子

4.3紧截断Toeplitz算子

4.4主要结论

4.5主要定理的讨论

5 Bergman空间上的乘法算子

5.1引言

5.2预备知识

5.3局部解的性质

5.4缠绕的有限Blaschke积

5.5一般缠绕的全纯真映射

6 总结与展望

6.1总结

6.2展望

致谢

参考文献

附录

A. 作者在攻读博士学位期间发表和即将发表的论文

B. 作者在攻读博士学位期间参加学术会议情况

C. 作者在攻读博士学位期间参加科研项目情况