具波动算子非线性Schr(o)dinger方程的数值解法及应用

摘要

本文主要从四个方面研究了一类一维具有波动算子的非线性Schr(o)dinger方程的若干问题，第一方面研究了该方程平衡解的稳定性态;第二方面对该方程精确解求解，得到了Jacobi椭圆函数周期解，Lamé函数多级包络解及若干显式孤波解;第三方面构造了四种不同形式的有限差分格式，证明了其收敛性与稳定性，通过数值例子验证了其精度并比较了各自算法优劣;第四方面研究了该方程扰动情况下行波解的线性稳定性.
　　第一章给出了非线性Schr(o)dinger方程及具波动算子非线性Schr(o)dinger方程的研究背景及研究现状，并列出文章结构集主要内容.
　　第二章运用Jacobi椭圆函数预设法及Jacobi椭圆函数与Lamé函数结合方法，对具波动算子非线性Schr(o)dinger方程求解，得到方程的Jacobi椭圆函数周期解及Lamé函数多级包络周期解，在极限情况下给出了多种显式孤波解.
　　第三章给出了具有波动算子非线性Schr(o)dinger方程的两个守恒律.基于有限差分数值解法，构造了该方程的无条件稳定线性化守恒格式，无条件稳定全隐守恒格式，条件稳定四层显示守恒格式，带参数的条件稳定线性化格式，证明了其收敛性与稳定性，其精度皆为O((Τ)2+ h2)，并通过数值例子验证其精度，守恒性及四种差分格式的优劣.
　　第四章针对具有波动算子非线性Schr(o)dinger方程的行波解的存在性、不稳定性及色散条件关系进行研究，给出了行波解的振荡性、稳定性及不稳定的条件及色散关系.
　　第五章对本文进行总结并对后续研究进行展望.

目录

声明

摘要

第1章 绪论

1．2 具波动算子非线性Schr?dinger方程的研究现状

1．3 本文的主要工作和安排

第2章 具波动算子非线性Schr?dinger方程的精确解研究

2．1 引言

2．2 预备知识

2．3 平衡解及动力系统

2．4 Jacobi椭圆函数周期解

2．4．1 Jacobi椭圆函数正弦函数展开法

2．4．2 Jacobi椭圆函数余弦函数展开法

2．4．3 Jacobi椭圆函数其它类型展开法

2．5 Lamé函数多级包络周期解

2．5．1 第一类多级包络周期解

2．5．2 第二类多级包络周期解

2．5．3 第三类多级包络周期解

2．6 本章小结

第3章 具波动算子非线性Schr?dinger方程的数值解法

3．1 引言

3．2 预备知识

3．3 具波动算子非线性Schr?dinger方程差分格式构造

3．3．1 无条件稳定线性化守恒格式

3．3．2 无条件稳定的全隐守恒格式

3．3．3 四层条件稳定显式守恒格式

3．3．4 带小参数条件稳定线性化格式

3．3．5 四种差分格式的比较

3．4 本章小结

第4章 具波动算子非线性Schr?dinger方程的线性稳定性

4．1 引言

4．2 行波解的存在性及色散关系

4．3 线性稳定性分析及相关引理

4．4 线性稳定性讨论

4．4．1 波数q=0

4．4．2 波数q≠0

4．5 本章小结

第5章 总结和展望

致谢

参考文献

在学期间科研成果情况