一类Hartogs域上的完备标准正交系与Bergman核函数

摘要

设Q是C<'n>中的有界域，令．H<'2>(Ω)表示Ω上全纯且平方可积的函数空间，即H<'2>(Ω)=Hol(Ω)n L<'2>(Ω)．在H<'2>(Ω)上引入内积: = ，易知H<'2>(Ω)是Hilbert空间．由于H<'2>(Ω)是非空的可分的内积空间。因此它上面存在可数的完备标准正交基．设{ψk(z)}，k=0，1，…是它的一组完备标准正交基，则Q上的Bergman核函数定义为:而且，Ω上的Bergman核函数是唯一的，它不依赖于Ω的完备标准正交基的选择．另外，我们也可以根据Bergman核函数的再生性来定义Ω上的Bergman核函数． 从定义中可以看出，如果—个域的完备标准正交系已知，那么由上式可以求出它的Bergman核函数的无穷级数形式，对于一些特殊的有界域，还可以通过一些运算上的技巧得到它的Bergman核函数的有限形式．因此找到有界域的完备标准正交系对于我们显式求出Bergman核函数有着重要的作用．对于C<'n>中的有界域来说，我们已经知道了圆型域，Reinhardt域，semi-Reinhardt的完备标准正交系的一般形式．本文第一部分我们将给出分组圆型域的定义及完备标准正交系的一般形式． 文章的主要结果是：引进分组圆型域的概念，给出分组圆型域的标准完备正交函数系的一般形式；作为它的应用，我们计算出域日D的Bergman核函数的显表达式．域日D定义如下：HD(1；m<,1>，n<,i>，m<,2>，n<,2>；p；q<,1>，q<,2>)={ξ∈∈C，Z ∈R<,I>(m<,1>，n<,1>)，W ∈R<,I>(m<,2>，n<,2>)：|ξ|<'2p><ψ(Z，W)}，这里ψ(Z，W)=det(I-ZZ<'t>)<'q1>det(J-WW<'t>)<'g2>，p>0，q1>0，q2>0，R<,I>，表示华罗庚意义下的第一类典型域，Z表示Z的共轭， Z<'t>表示Z的转置，det表示行列式；在此基础上，我们将得到的结论进行推广：若ξ=(ξ<,1>…，ξ<,r>)∈C<'r>，求出了当1/p<,1>，…，1/p<,r-1>为正整数，p<,r>为任意正实数时，分组圆型域其中pt>0(l=1，2，…，r)，q1>0，q2>0． 以前能显式求出Bergman核函数的Hua域(包括Egg域)，如果把它们的定义函数写成Hartogs域的形式，它们的底空间是不可约的，而域HD的底空间是可约的，是两个第一类Cartan域的直乘积，因此我们给出了一类新的Hartogs域的Bergman核函数的求法．

目录

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序言

第一章分组圆型域

第二章域HD的全纯自同构群

第三章域HD上的Bergman核函数

第四章结论的推广

参考文献

致谢