大域的非線形ゲインを持つシステムの結合は角の丸い角鉢がリアプノフ関数

摘要

ISS小ゲイン定理は，入力状態安定(ISS, input-to-state-stable)であるシステムをフィードバック型につないだ場合，その結合システムが再びISSになるかどうかを判定する．モジュールベースの解析と設計を可能にするため，広く活用されている．ISSとは，有界入力に対し状態が有界ということで，システムが（非線形関数かもしれない）ゲインを大域的に有することを意味する．設計にはリアプノフ関数によるISSの定式化がとても便利であり，さらに，モジュールの非線形ゲインは，通常，リアプノフ関数から計算される．一方，ISS小ゲイン定理から導かれる結合システム全体のリアプノフ関数としては最大分離型関数が最初に導出され，いまでも最もポピュラーなリアプノフ関数である．しかし，最大分離型とは微分不可能であることを意味する．微分不可能な関数は取り扱いにくいだけでなく，これを使った解析や設計は人工的で本来必要のないぎこちない振る舞いが見積もら·生成されてしまう．これが結合システムのふるまいの本質でないことは，線形システムの場合に最大分離型としなくても二次関数が必ず存在することから明らかである．そこで，最大演算を和に置き換えた和分離型のリアプノフ関数でもISS小ゲイン定理が導かれることが示されている、しかし，その関数は二次関数の非線形·ISSへの拡張としてはまだ十分に満足できるものではない．一例として，ゲイン余裕を零に漸近させると，リアプノフ関数内の指数（つまり，多項式の場合は次数）が無限となる．線形システムに対する二次リアプノフ関数にはこのような現象は起こらないため，指数の爆発はダイナミクスの本質ではないことが予想できる．実際，ゲイン余裕の零漸近による指数爆発を回避する和分離型が最近提案された．しかし，どの和分離型もリアプノフ関数の構成は技巧的であり，物理的解釈はにつながっていない．これは，一つの解軌道から説明，構成できる最大分離型と対照的である．ペロン·フロベニウスの定理をある意味で非線形ゲイン作用素に拡張した場合の右固有べクトル（関数）が最大分離型の構成，左べクトル（関数）が和離型の構成問題に相当することが知られている．リアプノフ関数の微分可能性を保証するような固有べクトルの研究には，まだ進歩がない．