微分方程定性理论在系统动力学模型分析中的应用初探

摘要

系统动力学由麻省理工学院教授J.W.Forrester创立于1956年,它是一门通过建立流率流位系分析研究复杂信息反馈系统的科学,以计算机为工具,通过结构-功能模拟的方法揭示复杂系统的行为特征,在诸多领域得到较好的、广泛的应用. 微分方程作为数学的中心学科,经过三百年的发展,其理论和方法都日臻完善.微分方程理论在系统动力学中的应用,过去主要集中于对SD模型对应微分方程组的解的研究,但前提是要求出方程组的一般解.事实上,随着系统动力学在众多复杂实际系统中的应用,其系统刻画模型对应的微分方程组多为非线性微分方程,由于非线性方程原则上已求不出解来,使得微分方程的传统理论在SD模型分析中似乎失去价值,需要借鉴该领域中新的理论与方法.这就是本文要用的微分方程定性理论.微分方程定性理论是1885年由法国著名数学力学家庞加莱创立的,它是现代微分方程的主导分支,在揭示非线性科学当中大量深刻而有趣的新现象的数学机制上作用重大. 本文提出系统动力学模型的微分力一程定性理论分析力一法步骤，如下所示： STEPl写出SD模型对应的微分方程组形式。另外，本步骤中可采用先分解SD模型为流率基本入树模型，列出每棵入树对应的微分方程，联立为微分方程组。若该微分方程组形式中存在表函数，则进行STEP2,否则进行STEP3，STEP2用代数插值力一法消除表函数的离散性，用其连续的逼近函数代替微分方程组中的表函数，须对所有表函数实施此操作。 STEP3把非线性微分力一程定性理论中对非线性微分方程(组)的运动稳定性、奇点、极限环、分叉和结构稳定性的探讨的有益结论用于对STEP1中的微分方程组的分析研究。