一种基于贝塞尔函数的机器人铣削加工稳定性预测方法

摘要

本发明公开了一种一种基于贝塞尔函数的机器人铣削加工稳定性预测方法，为了进一步提高刀具频响的预测精度，考虑螺旋角的影响并建立刀头部分的动力学微分方程，一端以作用点连续变化的正弦激振力为边界条件，另一端以自由为边界条件，通过提出的基于贝塞尔函数的微分方程数值解求解方法，将螺纹铣刀刀头部分的动力学微分方程及奇异边界条件转化为含有贝塞尔系数的矩阵方程，以求解该动力学微分方程的数值解，并进一步获得与激励点位置相关的刀头部分的刀锋频响，采用子结构耦合法将刀头与刀杆进行耦合以最终求得整个刀具的刀锋频响。本发明实现机器人铣削稳定性的动态预测。

说明书

技术领域

本发明涉及工业机器人铣削加工领域，尤其涉及一种基于贝塞尔函数和子结构耦合法的机器人铣削稳定性预测方法，也是一种快速准确预测方法。

背景技术

工业机器人因其成本低、效率高、柔性好、工作空间大等优点，被越来越广泛的应用于大型航空航天结构件的柔性加工。但是，由于其结构刚度较差，在机器人铣削加工过程中其容易产生颤振现象，进而破坏结构件的表面质量及形状公差，甚至损坏机器人。

在实际应用中，避免铣削加工颤振最常用的方法之一是通过预测稳定性叶瓣图来获得稳定加工区域。作为该方法的重要输入，所涉及加工设备的刀尖频响对于预测精度而言是极其重要的，而通常是采用锤击试验进行获取的。然而，锤击试验只能获得加工设备在特定姿态下静态的刀尖频响，而对于铣削机器人而言，其刀尖频响高度依赖于机器人的姿态，利用锤击实验获取随机器人姿态连续变化的持续频繁变化的动态刀尖频响基本是不可行的。因此，采用基于子结构耦合法构建与转轴转角相关的旋转子结构耦合法，并采用该方法对各个子结构进行耦合，以获得与转轴转角及激励位置相关的铣削机器人的动态刀尖频响，具有很强的实用性。

自从2000年子结构耦合法问世以来，出现了大量基于子结构耦合法预测不同刀具-夹具- 主轴组合的刀尖频响的方法，预测不同加工参数的刀尖频响的方法以及预测不同姿态的刀尖频响的方法。然而，这些研究大多集中在机床上，可查的文献中，仅有华中科技大学以铣削机器人为研究对象(李宇庭.机器人多轴铣削刀尖频响快速预测及颤振稳定性分析.华中科技大学,2018)，提出了基于二叉树子结构耦合法的机器人刀尖频响预测模型，但该方法实验量巨大且不能做到机器人刀尖频响连续快速的预测。虽然不同刀具-夹具-主轴组合、不同加工参数对于铣削机器人的刀尖频响也有一定的影响，但是目前关于机床的研究完全可以直接移植并应用到铣削机器人上。因此，为了在加工过程中根据机器人位姿的改变而实时快速的预测其刀尖频响，本发明基于子结构耦合法提出了与转轴转角相关的旋转子结构耦合法，该方法不仅实验量小，且可以快速有效的预测随机器人位姿变化的刀尖频响。

在以往的关于刀具的刀尖频响预测的研究中，为方便建模和求解，通常基于Euler-Bernoulli梁或Timoshenko梁理论建立直齿或不考虑刀齿的刀具的动力学微分方程。然而，为了使建立的模型更接近实际情况，并进一步提高预测精度，很有必要将螺旋角引入到刀具的刀尖频响的预测模型中。尽管哥伦比亚大学(

发明内容

为了解决铣削机器人刀锋频响及加工稳定性中预测存在的问题，本发明提出了一种基于贝塞尔函数和子结构耦合法的机器人铣削稳定性预测方法，实现了与激励位置及位姿相关的铣削机器人的动态刀锋频响以及加工稳定性的快速预测，避免了现有方法实验量巨大、连续预测能力差的问题，克服了离散螺纹刀具为直齿刀具再进行耦合的局限性及所可能引入的误差，提升了稳定性叶瓣图的预测精度及实用性。

为解决上述技术问题，本发明采用如下技术方案：

一种一种基于贝塞尔函数的机器人铣削加工稳定性预测方法，包括以下步骤：

步骤一：计算非对称螺纹铣刀刀头部分的惯性矩及惯性积，建立其动力学微分方程，基于贝塞尔函数开发针对奇异渐变边界条件的微分方程数值解求解方法，采用该方法求解在激励位置连续变化情况下所构建微分方程的数值解，并进一步获得与激励点位置相关的刀头部分的刀锋频响；

步骤二：将铣削机器人划分多个子结构，采用锤击实验法对除刀头以外的各个子结构的频响进行分析测试，结合步骤一所得刀头部分的刀锋频响，基于子结构耦合法开发与转轴转角相关的旋转子结构耦合法，并采用该方法对各个子结构进行耦合，以获得与转轴转角及激励位置相关的铣削机器人的动态刀锋频响；

步骤三：基于步骤一及步骤二中所获得的与激励位置及转轴转角相关的铣削机器人的动态刀锋频响及全离散法，构建与激励位置及位姿相关的机器人铣削稳定性动态预测模型及求解方法。

进一步的，所述步骤一中，基于贝塞尔函数的奇异渐变边界条件的微分方程数值解求解方法，通过引入贝塞尔函数以及配置点，将螺纹铣刀刀头部分的动力学微分方程及奇异边界条件转化为含有贝塞尔系数的矩阵方程，以求解激励位置连续变化情况下非对称螺纹铣刀刀头部分动力学微分方程在奇异边界条件下的数值解。

进一步的，所述步骤二中，铣削机器人为六轴铣削机器人，将六轴铣削机器人划分为基座、关节1、手臂1、关节2、手臂2、关节3、主轴-夹具-刀杆及刀头八个子结构。

进一步的，所述步骤三中，在切削过程中，随着末端所处空间位置的改变，机器人的位姿会随之发生改变，其步骤二中的刀锋频响也随之变化，与位姿相关的稳定性叶瓣图的求解流程如下，从某一子结构开始，以第一个转轴的转角的最小值为耦合角，将该子结构与相邻的子结构进行耦合，耦合角加上一个小角度形成新的耦合角，并再次对该子结构及该相邻的子结构进行耦合，直到耦合角大于等于转角的最大值，重复以上过程，直到耦合了所有的子结构，从而可获得关于任意位姿的刀锋频响，即可得到任意位姿相关的稳定性叶瓣图。

进一步的，与位姿相关的稳定性叶瓣图的求解流程如下，从基座开始，以第一个转轴的转角的最小值为耦合角，将基座与关节1进行耦合，耦合角加上一个小角度形成新的耦合角，并再次对基座与关节1进行耦合，直到耦合角大于等于转角的最大值，重复以上过程，直到耦合了所有的子结构，从而可获得关于任意位姿的刀锋频响，即可得到任意位姿相关的稳定性叶瓣图。

进一步的，所述步骤三中，关于转速与轴向切深的稳定性叶瓣图中，随着轴向切深的增加，其步骤一中动力学微分方程的边界条件(激励位置)随之改变，进而所获得的刀锋频响也随之变化，进一步可获得与之对应的稳定性叶瓣图，在此基础上在每个很小的转速区间内寻找所有稳定叶瓣图中轴向切深的最小值，连接这些点以获取与激励位置相关的更加准确的稳定性叶瓣图。

进一步的，在步骤三中所涉及的全离散法为改进的全离散法，具体如下：

铣削动力学微分方程的状态空间形式为：

式中

式中，ω

式中，N刀具的齿数，K

式中，φ

将时间周期τ离散为n段，将式(36)在第i个区间[t

式中，B(s)为周期参数矩阵，X(s-τ)为时延项,X(s)为状态项。

周期参数矩阵B(s)可以表示为:

时延项X(s-τ)可由三阶牛顿插值法进行逼近:

X(s-τ)≈a

式中

状态项X(s)可由三阶埃尔米特插值法进行逼近:

X(s)≈a

式中

余下求解稳定性叶瓣图的步骤与其他全离散法一致。

与现有技术相比，本发明的有益技术效果：

(1)本发明的与转轴转角相关的旋转子结构耦合法，可以在加工过程中根据机器人位姿的改变而实时快速准确的预测其刀尖频响，该方法不仅实验量小，且快速有效准确。

(2)本发明的基于贝塞尔函数的微分方程数值解求解方法，可实现螺纹铣刀刀头部分的动力学微分方程在奇异边界条件下的求解，该方法不仅计算快速准确、而且通用性很强。

(3)本发明基于动态刀锋频响预测方法及全离散法的与激励位置及位姿相关的机器人铣削稳定性动态预测模型及求解方法，不仅实用性强、预测精度高、可靠性强，而且可移植性强。

(4)本发明的一种基于贝塞尔函数的机器人铣削加工稳定性预测方法可以有效地移植到其他机器人加工过程的稳定性预测。

附图说明

下面结合附图说明对本发明作进一步说明。

图1为本发明所述方法中涉及到的非对称螺纹铣刀(两个刀齿)三维模型及截面几何图形；

图2为本发明所述方法中涉及到的采用子结构旋转耦合法对机器人进行动力学求解所需的子结构的划分及定义示意图；

图3为本发明所述方法中涉及到六轴铣削机器人的转轴示意图；

图4为本发明所述方法中涉及到的旋转子结构耦合法的耦合流程；

图5为本发明所述方法中涉及到的基于贝塞尔函数的与激励位置相关的铣削加工稳定性预测方法的步骤流程图；

图6为本发明所述方法中涉及到的基于旋转子结构耦合法的与机器人位姿相关的铣削加工稳定性预测方法的步骤流程图。

具体实施方式

一种一种基于贝塞尔函数的机器人铣削加工稳定性预测方法，包括以下步骤：

步骤一：计算非对称螺纹铣刀刀头部分的惯性矩及惯性积，建立其动力学微分方程，基于贝塞尔函数开发针对奇异渐变边界条件的微分方程数值解求解方法，采用该方法求解在激励位置连续变化情况下所构建微分方程的数值解，并进一步获得与激励点位置相关的刀头部分的刀锋频响。

具体地，在步骤一中，以两齿铣刀为例，如图1所示，将刀头部分简化为受横向振动的均匀弹性梁，采用Euler-Bernoulli梁理论，其动力学微分方程为：

其中，x(z,t)及y(z,t)分别为刀具在x及y方向上的振动,都是关于时间t和轴向坐标z的函数；E及ρ分别为刀具材料的杨氏模量及密度；I

两齿铣刀的等价半径R

其中，a

a

其中，R

刀具的横截面积可表示为：

z＝0处横截面关于x及y轴的惯性矩及关于轴线的惯性积可表示为:

沿z轴不同截面面积相对于x轴和y轴的惯性矩可表示为:

其中：

综上，两齿螺纹刀具的动力学微分方程可表示为：

上式可以转化为以下形式(以y轴为例)：

边界条件为：

其中a

其中N为任意整数，且：

转化为矩阵形式：

J

其中：

J(x)＝[J

若N为偶数：

若N为奇数：

则式(12)可以写为：

y(x)＝X(x)D

其中：

A＝[a

对X(x)求k阶导数得：

X

其中：

因此，对式(15)求k阶导数得：

y

将式(19)代入式(10)得：

定义代入式(20)的配置点为：

则式(20)可写为：

WA＝0或[W；0]；

其中：

将式(19)代入式(11)得：

U

其中：

用式(23)代替式(22)中的后m行得：

若

式中该刀具受到z＝L处的正弦激振力。

步骤二：将六轴铣削机器人划分为基座、关节1、手臂1、关节2、手臂2、关节3、主轴-夹具-刀杆及刀头八个子结构，如图3所示，采用锤击实验法对除刀头以外的各个子结构的频响进行分析测试，结合步骤一所得刀头部分的刀锋频响，基于子结构耦合法构建与转轴转角相关的旋转子结构耦合法，并采用该方法对各个子结构进行耦合，以获得与转轴转角及激励位置相关的铣削机器人的动态刀锋频响。

具体的，在步骤二中包括以下步骤：

步骤2.1：在铣削机器人刀尖点位置定义局部坐标U

步骤2.2：将工业机器人拆分为划分为基座、关节1、手臂1、关节2、手臂2、关节3、主轴-夹具-刀杆及刀头八个子结构，从基座到刀头分别定义为I到VIII，如图3所示。在各个子结构的耦合处的两端分别定义局部坐标u

步骤2.3：关于“激励力与位移”的频响函数可通过锤击实验直接获得，而关于“激振力与转角”、“扭矩与位移”及“扭矩与转角”的频响函数可通过多组锤击实验以及数值计算的方式获取。对除基座以外各个子结构上的六个局部坐标的三个方向分别进行激励，并在同方向的相应坐标上分别进行振动信号的采集，以获取十八个原点频响以及二十一个跨点频响，以子结构i的局部坐标u

通过多组关于“激振力与位移”的频响函数h得到关于“激振力与转角”、“扭矩与位移”及“扭矩与转角”的频响函数n，l，p的方法如下：以子结构i的局部坐标u

关于坐标u

步骤2.4：在获得各个子结构的频响后，通过子结构耦合旋转法对各个子结构接触面上的频响函数进行耦合，即可得到关于铣削机器人位姿的刀锋频响。具体耦合的顺序为：机器人基座1耦合子结构2为结构1，结构1耦合子结构3为结构2，结构2耦合子结构4为结构3，以此类推，以最终耦合所有子结构。

以基座1耦合子结构2为结构1并求解结构1末端频响的过程为例，对旋转耦合方法进行阐述。首先确定想获得的结构1末端频响的局部坐标与子结构2耦合子结构3的局部坐标完全一致，因而在该方法中，子结构2的坐标不进行变换，用频响矩阵可表示为：

式中s＝1b或者2a，代表位移以及转角的测量位置；t＝1b或者2a，代表激振力及力矩的施加位置。

若两子结构的相对旋转角度为ω，且按上述规定坐标的方法可得基座上耦合面的局部坐标轴u

式中f

对于u及v方向而言：

进而：

同理可得：

将式(32-33)代入式(26)即可得到关于“激励力与转角”、“扭矩与位移”及“扭矩与转角”的原点频响。从而可得到频响矩阵:

然后，通过将式子(28)及(34)代入下式，即可得到结构一的末端频响矩阵:

耦合过程的示意图如图4所示，重复步骤2.3以耦合所有子结构，从而得到与位姿相关的铣削机器人刀锋频响矩阵。

步骤三：基于步骤一及步骤二中所获得的与激励位置及转轴转角相关的铣削机器人的动态刀锋频响及一种改进的全离散法，构建与激励位置及位姿相关的机器人铣削稳定性动态预测模型及求解方法。

具体地，在步骤三中所涉及的改进的全离散法具体如下：

铣削动力学微分方程的状态空间形式为：

式中

式中ω

式中N刀具的齿数，K

式中φ

将时间周期τ离散为n段，将式(36)在第i个区间[t

式中B(s)为周期参数矩阵，X(s-τ)为时延项,X(s)为状态项。

周期参数矩阵B(s)可以表示为:

时延项X(s-τ)可由三阶牛顿插值法进行逼近:

X(s-τ)≈a

式中

状态项X(s)可由三阶埃尔米特插值法进行逼近:

X(s)≈a

式中

余下求解稳定性叶瓣图的步骤与其他全离散法一致，不再赘述。.

具体地，在步骤三中所涉及构建与激励位置相关的机器人铣削稳定性动态预测模型及求解方法具体如下：

如图5所示，为确保所预测的稳定性叶瓣图的可靠性，从刀尖L＝0到刀头轴线中点位置 L＝Lc/2，以l为离散长度对该长度进行分割，逐点的设定为激励点，进而动力学微分方程的边界条件随之改变，进而采用步骤一中所述的微分方程求解方法进行求解即可得到各个点的刀锋频响，进一步的利用所涉及的改进的全离散法可获得各个频响所对应的稳定性叶瓣图。从叶瓣图中的最小主轴转速Ω

具体地，在步骤三中所涉及构建与姿态相关的机器人铣削稳定性动态预测模型及求解方法具体如下：

如图6所示，从基座开始，以第一个转轴的转角的最小值为耦合角，将基座与关节1进行耦合，耦合角加上一个小角度形成新的耦合角，并再次对基座与关节1进行耦合，直到耦合角大于等于转角的最大值，重复以上过程，直到耦合了所有的子结构，从而可获得关于任意位姿的刀锋频响，通过所涉及的改进的全离散法可获得每个频响所对应的稳定性叶瓣图，即成功构建与位姿相关的铣削机器人加工稳定性叶瓣图。

以上所述的实施例仅是对本发明的优选方式进行描述，并非对本发明的范围进行限定，在不脱离本发明设计精神的前提下，本领域普通技术人员对本发明的技术方案做出的各种变形和改进，均应落入本发明权利要求书确定的保护范围内。