一种基于子结构的结构响应获取方法及灵敏度获取方法

摘要

本发明公开了一种基于子结构的结构响应获取方法及灵敏度获取方法，结构响应获取方法包括以下步骤：首先将整体结构有限元模型分为互不相关的独立子结构模型；然后根据子结构模型获得各独立子结构模型的主模态，并根据主模态、等效残余量以及载荷建立时域范围内的整体结构动力学振动方程，最后根据整体结构动力学振动方程获得整体结构的结构响应。本发明提出的方法中，整体结构的动力学振动方程和响应灵敏度方程只由少量低阶模态表示，而高阶模态的贡献由一个等效的残余量补偿。由于方程的尺寸与保留的低阶模态的数量相等，方程的尺寸大大缩小。从而，提出的子结构方法能够高效且精确的计算结构响应及其灵敏度。

说明书

技术领域

本发明属于土木工程大型结构检测技术领域，更具体地，涉及一种基于子结构的结构响应获取方法及其灵敏度获取方法。

背景技术

结构响应及其灵敏度在时域范围内的模型修正、参数识别和损伤检测等领域应用广泛。例如，在基于响应灵敏度的模型修正中，目标函数由加权的实测响应与数值模拟计算的响应的差值组成。设计参数被不断的迭代优化来最小化目标函数，在这个过程中，关于设计参数的响应灵敏度给优化提供了一个搜索的方向。然而，对于大型结构而言，计算结构的响应和响应灵敏度通常需要耗费大量的电脑内存和计算时间。虽然传统的子结构方法能够提高计算响应和响应灵敏度的效率，但是其提高的幅度仍然不能满足工程上的需求。

发明内容

针对现有技术的以上缺陷或改进需求，本发明提供了一种基于子结构的结构响应获取方法和灵敏度获取方法，其目的在于改进原有子结构计算结构响应及其灵敏度的效率。

为实现上述目的，作为本发明的一方面，本发明提供了一种基于子结构的结构响应获取方法，包括以下主要步骤：

步骤1：将整体结构有限元模型分为互不相关的独立子结构模型；

步骤2：根据子结构模型获得各独立子结构模型的主模态，并根据主模态、等效残余量以及载荷建立时域范围内的整体结构动力学振动方程，其中，等效残余量用于补偿高阶模态对整体结构动力学振动方程的影响；

步骤3：根据整体结构动力学振动方程获取整体结构的结构响应。

优选地，步骤2中根据如下步骤获得各独立子结构模型的主模态：

根据公式建立第j个子结构特征方程，并根据第j个子结构特征方程获得第j个独立子结构的特征值和特征向量；

根据公式组集第j个独立子结构的n^(j)对特征值；根据公式组集第j个独立子结构的n^(j)对特征向量；

提取第j个独立子结构的n^(j)对特征值的前m_j项和n^(j)对特征向量中前m_j项获得第j个独立子结构的主模态；

让j从1遍历至子结构个数，获得各个独立子结构模型的主模态；

其中，n^(j)为第j个子结构的自由度数；K^(j)为第j个子结构的刚度矩阵，M^(j)为第j个子结构的质量矩阵；j为子结构的序号，j＝1,2,…,N_S；N_S为子结构个数；表示第j个子结构的第i阶特征值，表示第j个子结构的第i阶特征向量，。

优选地，根据公式建立整体结构的时域范围内的动力学振动方程；

其中，和为组集后整体结构的主模态，m_j是第j个子结构保留的前低阶模态的数量；和为组集后整体结构的从模态，D为位移连接矩阵，q(t)_m为子结构主模态的参与系数；a₁和a₂是与阻尼相关的常数；f(t)^(p)为作用在拼装后的整体结构的外力。

优选地，根据公式获得整体结构的位移，根据公式获得整体结构的速度，根据公式获得整体结构的加速度；

其中，为子结构主模态的参与系数的二阶微分量，为子结构主模态的参与系数的一阶微分量，q(t)_m子结构主模态的参与系数。

作为本发明的另一方面，本发明提供了一种灵敏度获取方法，包括如下步骤：

根据整体结构动力学振动方程建立整体结构响应灵敏度方程；

根据整体结构响应灵敏度方程、子结构主模态的参与系数、子结构主模态的参与系数的一阶微分量及子结构主模态的参与系数的二阶微分量获取整体结构响应灵敏度。

优选地，根据公式获得整体结构响应灵敏度方程，其中，r是设计参数。

优选地，根据公式获得等效残余量关于r的灵敏度。

优选地，获得整体结构响应灵敏度包括如下步骤：

根据公式得到整体结构位移的灵敏度；

根据公式获得整体结构速度的灵敏度；

根据公式获得整体结构加速度的灵敏度。

总体而言，通过本发明所构思的以上技术方案与现有技术相比，通过将响应由少量低阶的模态表达，而高阶模态的贡献用一个等效剩余量来补偿，从而本发明可以有效地减轻大型结构模型修正的计算负担，具体如下：

(1)由于动力学振动方程和灵敏度方程的尺寸与各个子结构保留的模态总和相等，所提出的方法大大降低了方程的尺寸，从而提高了计算效率。

(2)在计算结构响应灵敏度时，只需计算与设计参数相关的子结构的灵敏度矩阵，而其它子结构关于设计参数的灵敏度矩阵为零，这样减少了计算量。

(3)高阶模态的贡献被一个等效残余量补偿，因此，与其他直接忽视高阶模态影响的子结构方法相比，为了得到好的计算结果，只需要保留更加少的低阶模态，因此提高了计算效率。

附图说明

图1是本发明提供的基于子结构的结构响应获取方法的流程图；

图2是本发明实施例的桥有限元模型示意图(单位：m)；

图3(a)是现有技术中用整体方法和本发明提出的子结构方法计算的位移图；图3(b)是现有技术中用整体方法和本发明提出的子结构方法计算的速度图；图3(c)是现有技术中用整体方法和本发明提出的子结构方法计算的加速度图；

图4(a)是现有技术中用整体方法和本发明提出的子结构方法计算的位移灵敏度图；图4(b)是现有技术中用整体方法和本发明提出的子结构方法计算的速度灵敏度图；图4(c)是现有技术中用整体方法和本发明提出的子结构方法计算的加速度灵敏度图。

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。此外，下面所描述的本发明各个实施方式中所涉及到的技术特征只要彼此之间未构成冲突就可以相互组合。

如图1所示，本发明提供了一种基于子结构的结构响应的获取方法，包括如下步骤：

步骤1：将整体结构有限元模型划分为独立子结构模型；

步骤2：根据子结构模型获得各独立子结构模型的主模态，并根据主模态、等效残余量以及载荷建立整体结构动力学振动方程，其中，等效残余量用于补偿高阶模态对整体结构动力学振动方程的影响；

步骤(2)进一步包括以下子步骤：

(2.1)获得各个独立子结构的特征值和特征向量，具体的为：

根据子结构模型，建立子结构特征方程，表示如下：

其中，K^(j)为第j个子结构的刚度矩阵，M^(j)为第j个子结构的质量矩阵；j的范围为j＝1,2,…,N_S；N_S为子结构个数，子结构个数依据整体结构大小设置；表示第j个子结构的第i阶特征值，表示第j个子结构的第i阶特征向量；

根据等式组集第j个独立子结构的n^(j)对特征值；根据等式组集第j个独立子结构的n^(j)对特征向量；其中，n^(j)为第j个子结构的自由度数；

(2.2)根据子结构分界面上的位移平衡条件与能量原理，将各个子结构组集起来，建立整体结构的动力学振动方程，表示如下：

其中，是关于主模态参与系数q(t)_m的振动方程，为补偿高阶模态贡献的等效残余量，q(t)_m为子结构主模态的参与系数；和为组集后整体结构的主模态：m_j是第j个子结构保留的前低阶模态的数量，剩余的特征值和特征向量即为整体结构的高阶模态，即为从模态，I表示单位矩阵，a₁和a₂是与阻尼相关的常数；f(t)^(p)为作用在拼装后的整体结构的外力，f(t)^(j)为施加在第j个子结构上的外力。上标“p”表示子结构矩阵的组集，代表着对各独立子结构未施加约束前的原始组装矩阵；上标“T”表示矩阵的转置；下标“m”表示与主模态相关的变量，即与前面低阶模态相关的变量，下标“s”表示与从模态相关的变量；

和为组集后整体结构的从模态，D为位移连接矩阵。

是一阶剩余柔度矩阵，可以用子结构的刚度矩阵和主模态表示如下：

步骤3：根据整体结构动力学振动方程获取整体结构的结构响应，具体包括如下步骤：

(3.1)根据整体结构动力学振动方程，采用Newmark-β法获取整体结构振动方程解q(t)_m。

(3.2)根据以下公式得到结构的位移、速度和加速度，表示如下：

其中，x(t)^(j)，分别为第j个子结构的位移、速度和加速度。

本发明提供的基于子结构的灵敏度的获取方法，包括如下步骤：

步骤4：对整体结构动力学振动方程建立整体结构响应灵敏度方程，更具体的为：

(4.1)计算整体结构模态关于材料参数“r”的灵敏度和

假设设计参数“r”在第R个子结构上，由于子结构之间的相互独立性，只需要用Nelson方法求解第R个子结构的主模态关于材料参数“r”的灵敏度与而其他子结构主模态关于材料参数“r”的灵敏度为零，因此：

(4.2)直接将整体结构的动力学振动方程关于设计参数求偏微分，得到整体结构的响应灵敏度方程，表示如下：

其中，等效残余量关于“r”的灵敏度如下式：

其中，为一阶剩余柔度矩阵关于“r”的灵敏度，可以由主模态灵敏度表示出，即为：

步骤5：根据整体结构响应灵敏度方程、子结构主模态的参与系数以及子结构主模态的参与系数的一阶微分量获取整体结构响应灵敏度，具体包括如下步骤：

(5.1)根据整体结构响应灵敏度方程，采用Newmark-β法获取方程解

(5.2)根据以下公式得到结构的位移、速度和加速度灵敏度如下：

本发明提供的基于子结构的结构响应的获取方法，首先将整体结构有限元模型划分为独立子结构，根据位移协调条件和能量原理连接相邻子结构，形成整体结构动力学振动方程。为了进一步提高子结构方法计算效率，本发明仅用子结构少数低阶主模态组集整体结构动力学振动方程，子结构高阶模态的贡献用等效残余量来补充，形成缩减后整体结构动力学振动方程。

本发明提供的基于子结构的灵敏度的获取方法，基于缩减后的结构动力学振动方程建立整体结构响应灵敏度方程。在本发明提出的方法中，只需要计算与设计参数相关的子结构的灵敏度矩阵，而其他子结构的灵敏度矩阵为零，因此，这极大的提高了计算效率。

以下以桥结构模型为例，对本发明进行介绍。桥的尺寸如图2所示。该有限元模型总共有947个节点、907个单元和5420个自由度。每个节点有六个自由度。瑞雷阻尼系数a₁＝0.6247，a₂＝0.0039。激励f_ext＝10⁶sin20t(kN)，作用于横桥向。桥模型的子结构划分信息如表1所示，其中，a表示顺桥向。随机选取一个单元(位于第四个子结构)作为设计单元，设计单元的抗弯刚度作为设计参数。取每个子结构的前120阶模态作为主模态，来计算结构响应及其灵敏度。

表1

为验证本发明，将本发明提出的方法和整体方法计算的结构响应及其灵敏度做比较，整体方法计算的结果视为精确解。

步骤1：将整体结构分为五个子结构，如图2所示。分别组集这五个子结构的刚度矩阵(K⁽¹⁾,K⁽²⁾,K⁽³⁾,K⁽⁴⁾,K⁽⁵⁾)，质量矩阵(M⁽¹⁾,M⁽²⁾,M⁽³⁾,M⁽⁴⁾,M⁽⁵⁾)和阻尼矩阵(C⁽¹⁾,C⁽²⁾,C⁽³⁾,C⁽⁴⁾,C⁽⁵⁾)。根据子结构的特征方程K^(j)Φ^(j)＝Λ^(j)M^(j)Φ^(j)(j＝1,2,3,4,5)求得五个子结构的主模态分别为将这些子结构的主模态组集为整体结构的主模态为

步骤2：计算连接矩阵D。桥模型共有92个界面节点和552个界面自由度，所以连接矩阵的尺寸为552×5952。连接矩阵D行包含两个非零的元素，对于每个刚体约束，这两个非零元素分别为-1和1。

步骤3：利用前述的公式计算与等效参残余量相关的量此变量用来补充高阶模态的贡献。

步骤4：用Newmark-β求解整体结构动力学方程得到主模态参与系数q_m(t)，和整体结构响应通过前述主模态参与系数与主振型相关等式得到。

步骤5：既然设计参数“r”是第四个子结构的一个设计单元的抗弯刚度，只需计算第四个子结构的灵敏度矩阵。其中，用Nelson方法计算第四个子结构主模态的灵敏度矩阵和与等效剩余量相关的灵敏度矩阵

步骤6：组集得到整体结构的灵敏度矩阵。

步骤7：整体结构的灵敏度方程右边的变量已经在前面计算结构响应的过程中直接求解出了。用Newmark-β求解整体结构响应灵敏度方程得到主模态参与系数灵敏度和整体结构响应灵敏度通过主模态参与系数与主振型以及它们的灵敏度相关等式得到。

从图3(a)至图3(c)和图4(a)至图4(c)可以看出，由本发明提出的方法计算的结构响应及其灵敏度与其对应的精确解的曲线吻合的非常好，这说明了本算法的精度非常高。

表2列出了分别用整体方法和提出的子结构方法计算结构响应及其灵敏度所用的时间，整体方法分别用了189.4017s和190.5983s来计算结构响应及其响应灵敏度，而提出的子结构方法分别用了28.3013s和22.4364s。提出的子结构方法计算响应及其灵敏度的效率是整体方法的7倍以上，这充分说明了本方法的效率高。

表2

响应(s)比率响应灵敏度(s)比率整体方法189.4017100.00％190.5983100.00％提出的子结构方法28.301314.94％22.436411.77％

本领域的技术人员容易理解，以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。