柔性直流输电线路的电压行波差动保护时域计算方法

摘要

本发明涉及电力系统保护与控制领域，为提出一种考虑线路参数频变特性的电压行波差动保护方法，该方法能够保证更为准确和快速地检测区内故障。本发明采用的技术方案是，一种柔性直流输电线路的电压行波差动保护时域计算方法，考虑柔性直流线路频率相关参数的影响，在时域内计算频率相关输电线路的特征阻抗和传播系数，通过采集输电线路首端和末端的电压和电流信号，分别计算该输电线路首端和末端的正反向电压行波，并根据首端与末端电压行波差值与设定电压门槛值的大小进行对比，从而判断区内故障是否发生。本发明主要应用于电力系统保护与控制场合。

说明书

技术领域

本发明涉及电力系统保护与控制领域，尤其涉及柔性直流输电线路行波差动保护的研究，特别是涉及考虑频率相关参数影响的柔性直流输电线路的电压行波差动保护的原理及计算。

背景技术

柔性直流输电(VSC-HVDC)是以电压源型换流器(Voltage Source Converter,VSC)和全控型可关断电力电力电子器件为核心的新型直流输电方式(High VoltageDirect Current,HVDC)，具有经济、灵活和环保等突出优点，是智能电网研究及应用领域具有代表性的关键技术之一。柔性直流输电系统一般采用模块化多电平换流器(ModularMultilevel Converter,MMC)实现交直流转换，由于其直流侧阻尼小，当柔性直流输电线路侧发生短路时会出现电流急剧上升、电压迅速下降的情况，对系统及设备的安全性造成了严重威胁。因此，研究能够快速、可靠、有选择的切除故障的保护原理，对保障柔性直流输电系统的安全、稳定运行具有重要的实用意义。

目前，柔性直流输电线路保护一般仍沿用传统线换相型高压直流输电系统的线路保护配置，即行波保护作为快速主保护，电流差动保护作为后备保护的方案。传统的纵联差动保护具有选择性好、灵敏度高等优势，但是其延时较长，无法满足柔性直流系统对速动性的需要。此外，柔性直流输电系统的暂态电气量不像交流系统那样以工频为主频率，而是包含丰富的频率成分，且在直流线路的传输过程中受线路频率相关参数的影响很大。因此，在考虑柔性直流线路频率相关参数的影响的基础上，如何进一步挖掘纵联差动保护在速动性上的潜力，是该保护原理能否成功应用于柔性直流线路并发挥其固有优势的基本前提。

发明内容

为克服现有技术的不足，鉴于对柔性直流输电线路的纵联差动保护均未考虑线路参数频率相关特性的问题，以及存在延时较长不利于故障的快速识别的问题，本发明旨在提出一种考虑线路参数频变特性的电压行波差动保护方法，该方法能够保证更为准确和快速地检测区内故障。本发明采用的技术方案是，一种柔性直流输电线路的电压行波差动保护时域计算方法，考虑柔性直流线路频率相关参数的影响，在时域内计算频率相关输电线路的特征阻抗和传播系数，通过采集输电线路首端和末端的电压和电流信号，分别计算该输电线路首端和末端的正反向电压行波，并根据首端与末端电压行波差值与设定电压门槛值的大小进行对比，从而判断区内故障是否发生。

一个实例中的具体步骤细化为：

步骤A：在时域内计算频率相关输电线路的特征阻抗和传播系数；

步骤B：采集输电线路首端和末端的电压和电流信号是，采样输电线路首端电压u_m、电流i_m以及线路末端电压u_n、电流i_n，采样频率为f_s，采样点数为N_s。根据波形还原法，选择滤波器内核为M₂的滤波器进行滤波后截取，将电压和电流的采样频率提高为重采样后频率f_maxres(f_maxres>f_s)，则采样点数变为N_x-M₂/2，其中N_x＝N_sf_maxres/f_s；并进行相模变换；

步骤C：根据首端与末端电压行波差值与设定电压门槛值的大小进行对比，从而判断区内故障是否发生：计算双端电压行波时域差动量uwave_diffm和uwave_diffn；设定门槛值为u_set，依据故障判据uwave_diffm[n₃]≥u_set||uwave_diffn[n₃]≥u_set(n₃＝1,2…N_x-M₂/2)来判断输电线路区内是否发生故障；对故障的识别采用电压电流二模分量进行计算；进一步地，判断故障是否发生：

uwave_diffm[n₃]≥u_set||uwave_diffn[n₃]≥u_set

即当uwave_diffm[n₃]或uwave_diffn[n₃]两者之中任一值大于设定的门槛值u_set时，则认为t[n₃]时刻区内发生故障，为保证判断的可靠性，此时进行连续判断若干次或采用积分方法进行判断。

步骤A具体地：

步骤1：根据输电线路包括导线半径、导线对地平均高度、导线间距离、导线与导线镜像间距离的几何参数和电导矩阵G，利用卡松公式计算得到导线的阻抗矩阵，利用电位系数矩阵计算得到电容矩阵，进而计算线路全长l对应的特征阻抗和传播系数的频域表达式，最后运用有理函数拟合或傅里叶反变换方法将其变换到时域；

步骤2：为实现输电线路全长对应的特征阻抗和传播系数的时域表达式与电压电流采集量的频域匹配，采用加布莱克曼窗的sinc滤波器对特征阻抗和传播系数进行滤波；

步骤3：降低滤波后的输电线路全长对应的特征阻抗和传播系数的采样频率至f_maxres。

步骤A中步骤1具体地：

设定采样时间t_max，采样频率f_max，时域的采样点数N_t与频域的采样点数N_f为：

N_t＝N_f＝t_max·f_max

对应第n₁个采样点的采样时刻t[n₁]为：

t[n₁]＝(n₁-1)/f_max

n₁＝1,2,3…N_t，对应第n₁个采样点的频率f[n₁]为：

f[n₁]＝(n₁-1)/t_max

步骤(1)：卡松公式计算线路阻抗矩阵Z的过程：

自阻抗Z_si(i＝1,2)为：

式中R_i,ac为导线i的交流电阻；X_i,ac表示导线i的交流内电抗；ΔR_si和ΔX_si均为卡松大地返回效应校正项；h_i表示导线i对地的平均高度；r_i为导线i的半径；大地和空气具有同一导磁率μ₀，其值为4π×10^-4H/m；ω为角频率，ω＝2πf[n₁]；

互阻抗Z_mij为：

式中j＝1,2且j≠i，d_ij表示导线i和导线j之间的距离；d_ij,mir为导线i和导线j大地镜像间的距离；ΔR_mij和ΔX_mij为卡松大地返回效应校正项；

则

步骤(2)：电位系数矩阵P的计算过程：

式中，P_si为矩阵P的对角线元素；P_mij为矩阵P的非对角线元素；ε₀为空间介电常数，取值8.85×10^-12F/m；则电容矩阵C＝P^-1；

步骤(3)：相模变换过程：

Z′＝SZ

C′＝SC

G′＝SG

式中，Z′表示导线单位长度阻抗的模量；C′表示导线单位长度电容的模量；G′表示导线单位长度电导的模量；S为解耦矩阵，

步骤(4)：特征阻抗Z_c和传播系数A的频域函数的计算：

Z′＝R′+jωL′

式中，R′为导线单位长度的电阻，L′为单位长度电感；

步骤(5)：采用有理函数拟合法的频域变换到时域过程：

利用有理函数拟合法对频域的Z_c(ω)和A(ω)函数进行拟合，拟合线段斜率有变化的点即为有理函数的极点和零点，则特征阻抗和传播系数的频域近似表示形式为：

式中，s＝jω并且m1<m2；z_m1为零点，m1＝1,2,3…，m2＝1,2,3…，p_m2为极点，所有零点与极点均为负的实数；k为系数；τ_min表示波的最短传播时间；Z_c,approx(s)表示特征阻抗的有理函数近似式；A_approx(s)表示传播系数的有理函数近似式；

将其变换到时域：

式中，z_c(t)为特征阻抗的时域值；a(t)为传播系数的时域值；k_m2为有理函数展开的系数；对应到每个采样时刻t[n₁]，即有特征阻抗z_c[n₁]和传播系数a[n₁]。

步骤A中步骤2具体地：

加窗sinc滤波器内核h[j₁]计算为：

进行归一处理：

式中，j₁＝1,2…M+1，f_c为截止频率，大小在0到0.5之间；M为滤波器内核长度，其必须为偶数；K为系数；w[j₁]为布莱克曼窗函数，表示为：

w[j₁]＝0.42-0.5cos(2πj₁/M)+0.08cos(4πj₁/M)

滤波过程为：

式中，n₁＝1,2…N_t；z_cfilter表示滤波后的特征阻抗；a_filter表示滤波后的传播系数，滤波后的的信号与原信号存在M/2点的延时，则采样时刻t[n₁]对应的滤波后的点为z_cfilter[n₁+M/2]和a_filter[n₁+M/2]。

步骤A中步骤3具体地：

对应重采样点后的时域的采样点数N_tres为：

N_tres＝t_max·f_maxres

式中，f_maxres为重采样后的采样频率，

对应第n₂个采样点的采样时刻t_new[n₂]为：

t_new[n₂]＝(n₂-1)/f_maxres

n₂＝1,2,3…N_tres，采用线性插值，得到重采样后的采样值为：

式中，z_cres表示重采样后的特征阻抗；a_res表示重采样后的传播系数；t₁和t₂为原采样时间序列t中的两个相邻时刻，且t₁≤t_new[n₂]≤t₂；z_c1和z_c2为滤波后的特征阻抗z_cfilter中，t₁和t₂时刻对应的采样值；a₁和a₂为滤波后的传播系数a_filter中，t₁和t₂时刻对应的采样值。

步骤B中波形还原法的计算过程具体地：

步骤(1)：设与进行行波传输计算需要的采样率为f_maxres，对原信号x[i₂]按照新的采样率的要求插入数值为零的点，i₂＝1,2…N_s，使得采样点数由N_s变为N_x，N_x＝N_s·N_add，N_add＝f_maxres/f_s，得到重组信号x_rec[i₃]即：

x_rec[1+(i₂-1)·N_dd]＝x[i₂]，其余点为零，

式中，i₃＝1,2…N_x，x代表以f_s为采样频率，采样得到的电压u_m、u_n以及电流i_m、i_n；x_rec代表插入零点后的采样频率为f_max的电压u_mrec、u_nrec以及电流i_mrec、i_nrec；

步骤(2)：采用加布莱克曼窗的sinc滤波器对重组信号x_rec[i₃]滤波，设定截止频率f_c2＝1/(2·N_add)，选取适当的滤波器内核长度M₂，滤波器内核为h₂[j₂]，滤除1/(2·N_add)以上次谐波：

式中，j₂＝1,2…M₂+1且i₃＝1,2…N_x；x_restore代表波形还原后的电压u_mrestore、u_nrestore以及电流i_mrestore、i_nrestore；

步骤(3)：还原后波形的截取，即去除x_restore信号的前M₂/2个采样点和后M₂/2个采样点，使得样时刻t[i₃]对应的波形还原信号x_restore[i₃+M₂/2]，得到截取后的还原信号x_re[n₃](n₃＝1,2…N_x-M₂/2)，有x_re[n₃]＝x_restore[n₃+M₂/2]；x_re代表波形还原并截取后的电压u_mre、u_nre以及电流i_mre、i_nre。

步骤B中电气量相模变换过程具体地：

式中，u_mmod1、u_nmod1以及i_mmod1、i_nmod1分别为波形还原后电压和电流的一模分量；u_mmod2、u_nmod2以及i_mmod2、i_nmod2分别表示波形还原后电压和电流的二模分量；u_mp、u_mn分别为电压u_mre的p相和n相；u_np、u_nn分别为电压u_nre的p相和n相；i_mp、i_mn分别为电流i_mre的p相和n相；i_np、i_nn分别为电流i_nre的p相和n相。

步骤C具体地：

电压行波时域差动量的计算过程：

uwave_diffm[n₃]＝(u_mmod2[n₃]+z_cres[n₂]*i_mmod2[n₃])*a_res[n₂]-(u_nmod2[n₃]-z_cres[n₂]*i_nmod2[n₃])

uwave_diffn[n₃]＝(u_nmod2[n₃]+z_cres[n₂]*i_nmod2[n₃])*a_res[n₂]-(u_mmod2[n₃]-z_cres[n₂]*i_mmod2[n₃])

式中，n₃＝1,2…N_x-M₂/2且n₂＝1,2…N_tres；*表示卷积运算；uwave_diffm为利用线路首端的二模正向电压行波进行线路全长传输和末端二模反向电压行波做差动的计算结果；uwave_diffn为利用线路末端的二模正向电压行波进行线路全长传输和首端二模反向电压行波做差动的计算结果；

卷积计算的具体过程：

假设xx[j₃]是一个N₁点输入信号，j₃为从1到N₁的正整数，hh[j₄]是N₂点冲激响应，j₄为从1到N₂的正整数，两者卷积的结果为y[j₅]，它是一个N₁+N₂-1点信号，j₅从1到N₁+N₂-1，则

式中，j₅＝1,2…N₁+N₂-1且j₄＝1,2…N₂。

本发明的特点及有益效果是：

1.该方法考虑到暂态电气量在柔性直流输电线路中的传输受频率相关参数的影响，并且基于线路双端电气量实现，满足在选择性方面的要求。

2.该方法相对于传统纵联差动保护，能够在保证计算准确度的同时将延时缩短到最小，有利于故障的快速识别，可在柔性直流输电线路长度不太长的情况下作为主保护。

3.该方法对电压行波的计算原理清晰，易于实现。

附图说明：

图1柔性直流输电线路示意图。

图2特征阻抗和传播系数的时域值计算流程图。

图3波形还原算法流程图。

具体实施方式

为克服现有技术的不足，提出了一种柔性直流输电线路的电压行波差动保护时域计算方法，该方法采集线路首端和末端的电气量时域值，通过建立柔性直流输电线路的频率相关模型函数进行对端电压行波的计算，最终计算得到电压行波差动值从而达到检测线路区内故障的目的。该方法能够根据实时采集到的电气量在线计算线路的电压行波，并且减小计算过程中的延时，满足柔性直流系统对速动性及选择性的要求。

本发明采用的技术方案是，一种柔性直流输电线路的电压行波差动保护时域计算方法，考虑柔性直流线路频率相关参数的影响，在时域内计算频率相关输电线路的特征阻抗和传播系数，通过采集输电线路首端和末端的电压和电流信号，分别计算该输电线路首端和末端的正反向电压行波，并根据首端与末端电压行波差值与设定电压门槛值的大小进行对比，从而判断区内故障是否发生。

一个实例中的具体步骤细化为：

步骤A：在时域内计算频率相关输电线路的特征阻抗和传播系数，实现包括具体以下步骤：

步骤1：根据输电线路的几何参数(包括导线半径、导线对地平均高度、导线间距离、导线与导线镜像间距离等)和电导矩阵G(一般忽略不计，可设为0)，利用卡松公式计算得到导线的阻抗矩阵，利用电位系数矩阵计算得到电容矩阵，进而计算线路全长l对应的特征阻抗和传播系数的频域表达式，最后运用有理函数拟合或傅里叶反变换等方法将其变换到时域；

设定采样时间t_max，采样频率f_max，时域的采样点数N_t与频域的采样点数N_f为：

N_t＝N_f＝t_max·f_max

对应第n₁个采样点的采样时刻t[n₁](n₁＝1,2,3…N_t)为：

t[n₁]＝(n₁-1)/f_max

对应第n₁个采样点的频率f[n₁]为：

f[n₁]＝(n₁-1)/t_max

步骤(1)：卡松公式计算线路阻抗矩阵Z的过程：

自阻抗Z_si(i＝1,2)为：

式中R_i,ac为导线i的交流电阻；X_i,ac表示导线i的交流内电抗；ΔR_si和ΔX_si均为卡松大地返回效应校正项；h_i表示导线i对地的平均高度；r_i为导线i的半径；大地和空气具有同一导磁率μ₀，其值为4π×10^-4>1]；

互阻抗Z_mij(j＝1,2且j≠i)为：

式中，d_ij表示导线i和导线j之间的距离；d_ij,mir为导线i和导线j大地镜像间的距离；ΔR_mij和ΔX_mij为卡松大地返回效应校正项；

则

步骤(2)：电位系数矩阵P的计算过程：

式中，P_si为矩阵P的对角线元素；P_mij为矩阵P的非对角线元素；ε₀为空间介电常数，取值8.85×10^-12F/m；则电容矩阵C＝P^-1；

步骤(3)：相模变换过程：

Z′＝SZ

C′＝SC

G′＝SG

式中，Z′表示导线单位长度阻抗的模量；C′表示导线单位长度电容的模量；G′表示导线单位长度电导的模量；S为解耦矩阵，

步骤(4)：特征阻抗Z_c和传播系数A的频域函数的计算：

Z′＝R′+jωL′

式中，R′为导线单位长度的电阻，L′为单位长度电感；

步骤(5)：频域变换到时域过程(有理函数拟合法)：

利用有理函数拟合法对频域的Z_c(ω)和A(ω)函数进行拟合，拟合线段斜率有变化的点即为有理函数的极点和零点，则特征阻抗和传播系数的频域近似表示形式为：

式中，s＝jω并且m1<m2；z_m1为零点，m1＝1,2,3…，m2＝1,2,3…，p_m2为极点，所有零点与极点均为负的实数；k为系数；τ_min表示波的最短传播时间；Z_c,approx(s)表示特征阻抗的有理函数近似式；A_approx(s)表示传播系数的有理函数近似式；

将其变换到时域：

式中，z_c(t)为特征阻抗的时域值；a(t)为传播系数的时域值；k_m2为有理函数展开的系数；对应到每个采样时刻t[n₁]，即有特征阻抗z_c[n₁]和传播系数a[n₁]；

步骤2：为实现输电线路全长对应的特征阻抗和传播系数的时域表达式与电压电流采集量的频域匹配，采用加布莱克曼窗的sinc滤波器对特征阻抗和传播系数进行滤波；

加窗sinc滤波器内核h[j₁]计算为：

进行归一处理：

式中，j₁＝1,2…M+1，f_c为截止频率，大小在0到0.5之间；M为滤波器内核长度，其必须为偶数；K为系数；w[j₁]为布莱克曼窗函数，表示为：

w[j₁]＝0.42-0.5cos(2πj₁/M)+0.08cos(4πj₁/M)

滤波过程为：

式中，n₁＝1,2…N_t；z_cfilter表示滤波后的特征阻抗；a_filter表示滤波后的传播系数。滤波后的的信号与原信号存在M/2点的延时，则采样时刻t[n₁]对应的滤波后的点为z_cfilter[n₁+M/2]和a_filter[n₁+M/2]；

步骤3：降低滤波后的输电线路全长对应的特征阻抗和传播系数的采样频率至f_maxres(f_maxres<f_max)；

对应重采样点后的时域的采样点数N_tres为：

N_tres＝t_max·f_maxres

对应第n₂个采样点的采样时刻t_new[n₂](n₂＝1,2,3…N_tres)为：

t_new[n₂]＝(n₂-1)/f_maxres

采用线性插值，得到重采样后的采样值为：

式中，z_cres表示重采样后的特征阻抗；a_res表示重采样后的传播系数；t₁和t₂为原采样时间序列t中的两个相邻时刻，且t₁≤t_new[n₂]≤t₂；z_c1和z_c2为滤波后的特征阻抗z_cfilter中，t₁和t₂时刻对应的采样值；a₁和a₂为滤波后的传播系数a_filter中，t₁和t₂时刻对应的采样值；

步骤B：采样输电线路首端电压u_m、电流i_m以及线路末端电压u_n、电流i_n，采样频率为f_s(f_s<f_maxres)，采样点数为N_s。为在较短线路长度下实现电压电流采样率与传播常数的匹配，得到准确的计算结果，采用如下步骤对电压电流进行波形还原，并计算电压电流的模分量。根据波形还原法，将电压和电流的采样频率提高为f_maxres，并进行相模变换；具体包括以下步骤：

步骤1：波形还原法的计算过程：

步骤(1)：设与进行行波传输计算需要的采样率为f_maxres，对原信号x[i₂]按照新的采样率的要求插入数值为零的点，i₂＝1,2…N_s，使得采样点数由N_s变为N_x(N_x＝N_s·N_add，N_add＝f_maxres/f_s)，得到重组信号x_rec[i₃](i₃＝1,2…N_x)即：

x_rec[1+(i₂-1)·N_dd]＝x[i₂]，其余点为零，

式中，x代表以f_s为采样频率，采样得到的电压u_m、u_n以及电流i_m、i_n；x_rec代表插入零点后的采样频率为f_max的电压u_mrec、u_nrec以及电流i_mrec、i_nrec；

步骤(2)：采用加布莱克曼窗的sinc滤波器对重组信号x_rec[i₃]滤波，设定截止频率f_c2＝1/(2·N_add)，选取适当的滤波器内核长度M₂，滤波器内核为h₂[j₂]，滤除1/(2·N_add)以上次谐波：

式中，j₂＝1,2…M₂+1且i₃＝1,2…N_x；x_restore代表波形还原后的电压u_mrestore、u_nrestore以及电流i_mrestore、i_nrestore；

步骤(3)：还原后波形的截取，即去除x_restore信号的前M₂/2个采样点和后M₂/2个采样点，使得样时刻t[i₃]对应的波形还原信号x_restore[i₃+M₂/2]，得到截取后的还原信号x_re[n₃](n₃＝1,2…N_x-M₂/2)，有x_re[n₃]＝x_restore[n₃+M₂/2]；x_re代表波形还原并截取后的电压u_mre、u_nre以及电流i_mre、i_nre；

步骤2：电气量相模变换过程：

式中，u_mmod1、u_nmod1以及i_mmod1、i_nmod1分别为波形还原后电压和电流的一模分量；u_mmod2、u_nmod2以及i_mmod2、i_nmod2分别表示波形还原后电压和电流的二模分量；u_mp、u_mn分别为电压u_mre的p相和n相；u_np、u_nn分别为电压u_nre的p相和n相；i_mp、i_mn分别为电流i_mre的p相和n相；i_np、i_nn分别为电流i_nre的p相和n相；

步骤C：计算双端电压行波时域差动量uwave_diffm和uwave_diffn；设定门槛值为u_set，依据故障判据uwave_diffm[n₃]≥u_set||uwave_diffn[n₃]≥u_set来判断输电线路区内是否发生故障；由于本算法不讨论故障类型的区分，故对故障的识别采用电压电流二模分量进行计算；

判断故障是否发生：

uwave_diffm[n₃]≥u_set||uwave_diffn[n₃]≥u_set

即当uwave_diffm[n₃]或uwave_diffn[n₃]两者之中任一值大于设定的门槛值u_set时，则认为t[n₃]时刻区内发生故障。为保证判断的可靠性，此时可以连续判断若干次或采用积分等方法进行判断。

电压行波时域差动量的计算过程：

uwave_diffm[n₃]＝(u_mmod2[n₃]+z_cres[n₂]*i_mmod2[n₃])*a_res[n₂]-(u_nmod2[n₃]-z_cres[n₂]*i_nmod2[n₃])

uwave_diffn[n₃]＝(u_nmod2[n₃]+z_cres[n₂]*i_nmod2[n₃])*a_res[n₂]-(u_mmod2[n₃]-z_cres[n₂]*i_mmod2[n₃])

式中，n₃＝1,2…N_x-M₂/2且n₂＝1,2…N_tres；*表示卷积运算；uwave_diffm为利用线路首端的二模正向电压行波进行线路全长传输和末端二模反向电压行波做差动的计算结果；uwave_diffn为利用线路末端的二模正向电压行波进行线路全长传输和首端二模反向电压行波做差动的计算结果。

卷积计算的具体过程：

假设xx[j₃]是一个N₁点输入信号，j₃为从1到N₁的正整数，hh[j₄]是N₂点冲激响应，j₄为从1到N₂的正整数，两者卷积的结果为y[j₅]，它是一个N₁+N₂-1点信号，j₅从1到N₁+N₂-1，则

式中，j₅＝1,2…N₁+N₂-1且j₄＝1,2…N₂。

下面通过具体实施例，来详细说明本发明的技术方案：

A.在时域内计算频率相关输电线路的特征阻抗和传播系数，实现包括具体以下步骤：

(1)柔性直流输电线路如图1所示。根据输电线路的几何参数(包括导线半径、导线对地平均高度、导线间距离、导线与导线镜像间距离等)和电导矩阵G(一般忽略不计，可设为0)，利用卡松公式计算得到导线的阻抗矩阵，利用电位系数矩阵计算得到电容矩阵，进而计算线路全长l对应的特征阻抗和传播系数的频域表达式，最后运用有理函数拟合或傅里叶反变换等方法将其变换到时域，具体流程如图2；

设定采样时间t_max，采样频率f_max，时域的采样点数N_t与频域的采样点数N_f为：

N_t＝N_f＝t_max·f_max

对应第n₁个采样点的采样时刻t[n₁](n₁＝1,2,3…N_t)为：

t[n₁]＝(n₁-1)/f_max

对应第n₁个采样点的频率f[n₁]为：

f[n₁]＝(n₁-1)/t_max

a)卡松公式计算线路阻抗矩阵Z的过程：

自阻抗Z_si(i＝1,2)为：

式中R_i,ac为导线i的交流电阻；X_i,ac表示导线i的交流内电抗；ΔR_si和ΔX_si均为卡松大地返回效应校正项；h_i表示导线i对地的平均高度；r_i为导线i的半径；大地和空气具有同一导磁率μ₀，其值为4π×10^-4H/m；ω为角频率，ω＝2πf[n₁]。

互阻抗Z_mij(j＝1,2且j≠i)为：

式中，d_ij表示导线i和导线j之间的距离；d_ij,mir为导线i和导线j大地镜像间的距离；ΔR_mij和ΔX_mij为卡松大地返回效应校正项。则

b)电位系数矩阵P的计算过程：

式中，P_si为矩阵P的对角线元素；P_mij为矩阵P的非对角线元素；ε₀为空间介电常数，取值8.85×10^-12F/m；则电容矩阵C＝P^-1；

c)相模变换过程：

Z′＝SZ

C′＝SC

G′＝SG

式中，Z′表示导线单位长度阻抗的模量；C′表示导线单位长度电容的模量；G′表示导线单位长度电导的模量；S为解耦矩阵，

d)特征阻抗Z_c和传播系数A的频域函数的计算：

Z′＝R′+jωL′

式中，R′为导线单位长度的电阻，L′为单位长度电感。

e)频域变换到时域过程(有理函数拟合法)：

利用有理函数拟合法对频域的Z_c(ω)和A(ω)函数进行拟合，拟合线段斜率有变化的点即为有理函数的极点和零点，则特征阻抗和传播系数的频域近似表示形式为：

式中，s＝jω并且m1<m2；z_m1为零点，m1＝1,2,3…，m2＝1,2,3…，p_m2为极点，所有零点与极点均为负的实数；k为系数；τ_min表示波的最短传播时间；Z_c,approx(s)表示特征阻抗的有理函数近似式；A_approx(s)表示传播系数的有理函数近似式。

将其变换到时域的过程：

式中，z_c(t)为特征阻抗的时域值；a(t)为传播系数的时域值；k_m2为有理函数展开的系数；对应到每个采样时刻t[n₁]，即有特征阻抗z_c[n₁]和传播系数a[n₁]；

(2)为实现输电线路全长对应的特征阻抗和传播系数的时域表达式与电压电流采集量的频域匹配，采用加布莱克曼窗的sinc滤波器对特征阻抗和传播系数进行滤波；

加窗sinc滤波器内核h[j₁]计算为：

进行归一处理：

式中，j₁＝1,2…M+1，f_c为截止频率，大小在0到0.5之间。若线路长度短，采样频率f_max很大，在与电压和电流进行卷积运算时，需降低采样频率至f_maxres时，可令f_c＝1/(2×(f_max/f_maxres+1))。M为滤波器内核长度，其必须为偶数，对应该截止频率，可取值为4f_c；K为系数；w[j₁]为布莱克曼窗函数，表示为：

w[j₁]＝0.42-0.5cos(2πj₁/M)+0.08cos(4πj₁/M)

滤波过程为：

式中，n₁＝1,2…N_t；z_cfilter表示滤波后的特征阻抗；a_filter表示滤波后的传播系数。滤波后的的信号与原信号存在M/2点的延时，则采样时刻t[n₁]对应的滤波后的点为z_cfilter[n₁+M/2]和a_filter[n₁+M/2]；

(3)降低滤波后的输电线路全长对应的特征阻抗和传播系数的采样频率至f_maxres(f_maxres<f_max)；

对应重采样点后的时域的采样点数N_tres为：

N_tres＝t_max·f_maxres

对应第n₂个采样点的采样时刻t_new[n₂](n₂＝1,2,3…N_tres)为：

t_new[n₂]＝(n₂-1)/f_maxres

采用线性插值，得到重采样后的采样值为：

式中，z_cres表示重采样后的特征阻抗；a_res表示重采样后的传播系数；t₁和t₂为原采样时间序列t中的两个相邻时刻，且t₁≤t_new[n₂]≤t₂；z_c1和z_c2为滤波后的特征阻抗z_cfilter中，t₁和t₂时刻对应的采样值；a₁和a₂为滤波后的传播系数a_filter中，t₁和t₂时刻对应的采样值。

B.采样输电线路首端电压u_m、电流i_m以及线路末端电压u_n、电流i_n，采样频率为f_s(f_s<f_maxres)，采样点数为N_s。为在较短线路长度下实现电压电流采样率与传播常数的匹配，得到准确的计算结果，采用如下步骤对电压电流进行波形还原，并计算电压电流的模分量。根据波形还原法，将电压和电流的采样频率提高为f_maxres，并进行相模变换；具体包括以下步骤：(1)如图3所示，波形还原法的计算过程为：

a)设与进行行波传输计算需要的采样率为f_maxres，对原信号x[i₂]按照新的采样率的要求插入数值为零的点，i₂＝1，2…N_s，使得采样点数由N_s变为N_x(N_x＝N_s·N_add，N_add＝f_maxres/f_s)，得到重组信号x_rec[i₃](i₃＝1,2…N_x)即：

x_rec[1+(i₂-1)·N_dd]＝x[i₂]，其余点为零

式中，x代表以f_s为采样频率，采样得到的电压u_m、u_n以及电流i_m、i_n；x_rec代表插入零点后的采样频率为f_max的电压u_mrec、u_nrec以及电流i_mrec、i_nrec；

b)采用加布莱克曼窗的sinc滤波器对重组信号x_rec[i₃]滤波，设定截止频率f_c2＝1/(2·N_add)，选取适当的滤波器内核长度M₂，滤波器内核为h₂[j₂]，滤除1/(2·N_add)以上次谐波：

式中，j₂＝1,2…M₂+1且i₃＝1,2…N_x；x_restore代表波形还原后的电压u_mrestore、u_nrestore以及电流i_mrestore、i_nrestore；

c)还原后波形的截取，即去除x_restore信号的前M₂/2个采样点和后M₂/2个采样点，使得样时刻t[i₃]对应的波形还原信号x_restore[i₃+M₂/2]，得到截取后的还原信号x_re[n₃](n₃＝1,2…N_x-M₂/2)，有x_re[n₃]＝x_restore[n₃+M₂/2]；x_re代表波形还原并截取后的电压u_mre、u_nre以及电流i_mre、i_nre；

(2)相模变换过程：

式中，u_mmod1、u_nmod1以及i_mmod1、i_nmod1分别为波形还原后电压和电流的一模分量；u_mmod2、u_nmod2以及i_mmod2、i_nmod2分别表示波形还原后电压和电流的二模分量；u_mp、u_mn分别为电压u_mre的p相(即图中u_m+)和n相(即图中u_m-)；u_np、u_nn分别为电压u_nre的p相(u_n+)和n相(u_n-)；i_mp、i_mn分别为电流i_mre的p相(i_m+)和n相(i_m-)；i_np、i_nn分别为电流i_nre的p相(i_n+)和n相(i_n-)。

C.计算双端电压行波时域差动量uwave_diffm和uwave_diffn；设定门槛值为u_set，依据故障判据uwave_diffm[n₃]≥u_set||uwave_diffn[n₃]≥u_set来判断输电线路区内是否发生故障；由于本算法不讨论故障类型的区分，故对故障的识别采用电压电流二模分量进行计算。

判断故障是否发生：

uwave_diffm[n₃]≥u_set||uwave_diffn[n₃]≥u_set

即当uwave_diffm[n₃]或uwave_diffn[n₃]两者之中任一值大于设定的门槛值u_set时，则认为t[n₃]时刻区内发生故障。为保证判断的可靠性，此时可以连续判断若干次或采用积分等方法进行判断。

则电压行波时域差动量为：

uwave_diffm[n₃]＝u_mfw[n₃]*a_res[n₂]-u_nbw[n₃]

uwave_diffn[n₃]＝u_nfw[n₃]*a_res[n₂]-u_mbw[n₃]

式中，uwave_diffm为利用线路首端的二模正向电压行波进行线路全长传输和末端二模反向电压行波做差动的计算结果；uwave_diffn为利用线路末端的二模正向电压行波进行线路全长传输和首端二模反向电压行波做差动的计算结果；

电压行波的计算过程：

u_mfw[n₃]＝u_mmod2[n₃]+z_cres[n₂]*i_mmod2[n₃]

u_nfw[n₃]＝u_nmod2[n₃]+z_cres[n₂]*i_nmod2[n₃]

u_mbw[n₃]＝u_mmod2[n₃]-z_cres[n₂]*i_mmod2[n₃]

u_nbw[n₃]＝u_nmod2[n₃]-z_cres[n₂]*i_nmod2[n₃]

式中，n₃＝1,2…N_x-M₂/2且n₂＝1,2…N_tres；*表示卷积运算；u_mfw为线路首端的二模正向电压行波，u_mbw为线路首端的二模反向电压行波；u_nfw为线路末端的二模正向电压行波，u_nbw为线路末端的二模反向电压行波；

卷积计算的具体过程：

假设xx[j₃]是一个N₁点输入信号，j₃为从1到N₁的正整数，hh[j₄]是N₂点冲激响应，j₄为从1到N₂的正整数，两者卷积的结果为y[j₅]，它是一个N₁+N₂-1点信号，j₅从1到N₁+N₂-1，则

式中，j₅＝1,2…N₁+N₂-1且j₄＝1,2…N₂。对于电压行波差动量的计算中，得到的信号仅取前N_x项。

最后应当说明的是：以上实施例仅用以说明本发明的技术方案而非对其限制，尽管参照上述实施例对本发明进行了详细的说明，所属领域的普通技术人员应当理解：对本发明的具体实施方式进行修改或者等同替换，而未脱离本发明精神和范围的任何修改或者等同替换，其均应涵盖在本发明的权利要求范围当中。