一种石墨烯纳米质量传感器振动特性分析的半解析方法

摘要

本发明公开了一种石墨烯纳米质量传感器振动特性分析的半解析方法，步骤包括：将石墨烯纳米质量传感器在x方向上沿附加质量的质心划分两个子结构，建立各个子结构的控制方程；将每一个子结构采用NE+1条结线划分为NE个矩形区域，每一个矩形区域为一个条形单元，根据每一个子结构的控制方程推导出该子结构中各个条形单元的运动微分方程，针对各个子结构组装总体运动微分方程并处理边界条件，求解总体运动微分方程得到石墨烯纳米质量传感器自由振动的固有频率ω。本发明能够处理复杂几何形状问题、解的形式统一、易于利用计算机编程，可用于相对较复杂的几何区域以及边界条件问题的求解，具有求解精度高、计算过程数据存储量少、计算效率高的优点。

说明书

技术领域

本发明涉及弹性力学领域，具体涉及一种石墨烯纳米质量传感器振动特性分析的半解析方法。

背景技术

在实际工程问题中，只有极少数力学问题能够给出解析解，大多数问题需要通过数值方法来求解，含附加质量的石墨烯传感器振动特性的求解亦如此。在众多数值方法中，有限元法最常见，也是最实用的一种方法。有限元法最大的优点是不受求解区域、边界条件以及材料属性的限制，可以分析具有复杂几何形状的弹性力学问题。但是，石墨烯纳米质量传感器几何尺寸一般在纳米量级，要考虑尺度效应，因此需要引入微分型非局部本构模型，况且石墨烯纳米质量传感器还需要考虑附加集中质量的惯性力，这使有限元方法的求解效率以及求解精度大大降低。

条形传递函数方法是一种求解二维弹性力学问题的半解析数值方法。这种方法的思想类似于有限条法，也是将求解区域分为若干个条形区域，称为条形单元，在条形单元内利用多项式和连续函数近似横向和纵向位移，从而得到基于条形单元的整体微分方程，最后利用传递函数方法求解微分方程，得到半解析解。该方法的一个显著优点是，其既具有有限元方法的灵活性，可以分析复杂形状的几何区域，同时又能给出封闭形式的高精度半解析解，而且在求解含附加质量问题时候无需在控制方程中考虑附加质量项，从而给求解带来极大的便利性。然而，传统的条形传递函数方法基于Hamilton原理，需要先给出待求问题对应的能量泛函。而问题是，并非所有问题都可以很容易地给出其相应的能量泛函，如考虑尺度效应的微分型非局部本构模型的薄板弯曲问题，这使得条形传递函数方法的应用受到了限制。然而，Galerkin方法不需要先写出待研究问题的能量泛函，可以直接对微分方程进行近似求解。

发明内容

本发明要解决的技术问题：针对现有技术的上述问题，提供一种能够处理复杂几何形状问题、解的形式统一、易于利用计算机编程，可用于相对较复杂的几何区域以及边界条件问题的求解，求解精度高、计算过程数据存储量少、计算效率高的石墨烯纳米质量传感器振动特性分析的半解析方法。

为了解决上述技术问题，本发明采用的技术方案为：

一种石墨烯纳米质量传感器振动特性分析的半解析方法，步骤包括：

1)将包含附加质量的矩形结构的石墨烯纳米质量传感器在x方向上沿附加质量的质心划分为两个子区域Ω₁和Ω₂得到对应的两个子结构，建立各个子结构的控制方程；

2)将每一个子结构采用NE+1条结线划分为NE个矩形区域，每一个矩形区域为一个条形单元，第j个条形单元包含第j条结线和第j+1条结线以及4个结点；

3)根据每一个子结构的控制方程推导出该子结构中各个条形单元的运动微分方程；

4)针对各个子结构，将所有条形单元的运动微分方程进行组装总体运动微分方程，并针对所述总体运动微分方程处理边界条件；

5)对处理边界条件后的总体运动微分方程计算传递矩阵和边界矩阵，根据传递矩阵和边界矩阵求解处理边界条件后总体运动微分方程，得到石墨烯纳米质量传感器自由振动的固有频率ω并作为石墨烯纳米质量传感器的振动特性分析结果输出。

优选地，所述步骤1)中建立的各个子结构的控制方程如式(1)所示；

式(1)中，Ω₁表示子区域Ω₁对应的子结构，Ω₂表示子区域Ω₂对应的子结构，M_xx1为子区域Ω₁在x方向的弯矩，M_xy1为子区域Ω₁的扭矩，M_yy1为子区域Ω₁在y方向的弯矩，M_xx2为子区域Ω₂在x方向的弯矩，M_xy2为子区域Ω₂的扭矩，M_yy2为子区域Ω₂在y方向的弯矩，ρ为石墨烯的密度，h为石墨烯纳米质量传感器的厚度，w₁为子区域Ω₁对应的子结构对应的横向位移，w₂为子区域Ω₂对应的子结构对应的横向位移，t为时间，x为横坐标、y为纵坐标。

优选地，所述步骤1)中将每一个子结构采用NE+1条结线划分为NE个矩形区域后，每一个条形单元结线位移函数向量如式(2)所示、内部的横向位移函数如式(3)所示；

φ(x,t)＝{w_j>j>j+1>j+1}^T>

式(2)中，φ(x,t)为第j个条形单元的结线位移函数向量，w_j为第j条结线的横向位移，θ_j为第j条结线的转角，w_j+1为第j+1条结线的横向位移，θ_j+1为第j+1条结线的转角；

w(x,y,t)＝N(y)φ(x,t) (3)

式(3)中，w(x,y,t)为第j个条形单元内部的横向位移函数，N(y)为选定的形函数矩阵，φ(x,t)为第j个条形单元的结线位移函数向量。

优选地，所述步骤3)推导出各个条形单元的运动微分方程如式(4)所示；

式(4)中，和为条形单元的刚度矩阵，和为条形单元的质量矩阵，φ_i为条形单元的结线位移函数向量，t为时间，x为横坐标、y为纵坐标，D为石墨烯纳米质量传感器弯曲刚度，N为选定的形函数矩阵N(y)，T为矩阵转置符号，ν为泊松比，ρ为石墨烯的密度，h为石墨烯纳米质量传感器的厚度，l为条形单元的宽度，μ为非局部参数。

优选地，所述选定的形函数矩阵N(y)为标准Euler梁单元的形函数。

优选地，所述步骤4)的详细步骤包括：

4.1)针对各个子结构，采用有限元法将各个条形单元的刚度矩阵和分别组装成总体刚度矩阵K⁽⁴⁾、K⁽²⁾和K⁽⁰⁾，将各个条形单元的质量矩阵和分别组装成总体质量矩阵M⁽²⁾和M⁽⁰⁾；

4.2)确定各个子结构的总体位移向量如式(5)所示；

Φ_i(x,t)＝{w₁(x,t),θ₁(x,t),w₂(x,t),θ₂(x,t),…,w_NE(x,t),θ_NE(x,t)}^T,i＝1,2>

式(5)中，Φ_i(x,t)为第i个子结构的总体位移向量，w₁(x,t)为第i个子结构中第1个条形单元的结线横向位移，θ₁(x,t)为第i个子结构中第一个条形单元的结线转角，w₂(x,t)为第i个子结构中第2个条形单元的结线横向位移，θ₂(x,t)为第i个子结构中第2个条形单元的结线转角，w_NE(x,t)为第i个子结构中第NE个条形单元的结线横向位移，θ_NE(x,t)为第i个子结构中第NE个条形单元的结线转角；

4.3)根据各个子结构的总体位移向量组装总体运动微分方程如式(6)所示；

式(6)中，Φ_i为第i个子结构的总体位移向量，K⁽⁴⁾、K⁽²⁾和K⁽⁰⁾为总体刚度矩阵，M⁽²⁾和M⁽⁰⁾为总体质量矩阵，t为时间，x为横坐标；

4.4)针对所述总体运动微分方程处理边界条件，得到总体运动微分方程如式(7)所示；

式(7)中，为第i个子结构处理边界条件后的总体位移向量，和为处理边界条件后的总体刚度矩阵，和为处理边界条件后的总体质量矩阵。

优选地，所述步骤5)的详细步骤包括：

5.1)将各个子结构处理边界条件后的总体运动微分方程取时间的Laplace变换，得到各个子结构的Laplace总体运动微分方程如式(8)所示；

式(8)中，为第i个子结构处理边界条件后的总体位移向量的Laplace变换，‘^’为Laplace变换符号，s为Laplace变换系数，和为处理边界条件后的总体刚度矩阵，为处理边界条件后的总体刚度矩阵，D(s)、D₂、A均为中间矩阵；

5.2)基于定义的状态向量η(x,s)，将Laplace总体运动微分方程转换为式(9)所示：

式(9)中，η(x,s)为定义的状态向量，且定义的状态向量η(x,s)的函数表达式如式(10)所示，F(s)为传递矩阵，传递矩阵F(s)的函数表达式如式(11)所示；

式(10)中，η(x,s)为定义的状态向量，η₁(x,s)和η₂(x,s)均为中间向量，为第1个子结构处理边界条件后的总体位移向量的Laplace变换，为第2个子结构处理边界条件后的总体位移向量的Laplace变换；

式(11)中，F(s)为传递矩阵，为中间矩阵，为4×N₁阶0元素方阵，N₁为每个子结构的总体自由度数，D(s)、D₂为式(8)中所示的中间矩阵，I为单位矩阵；

5.3)建立两个子结构连接处的边界条件如式(12)所示；

M_b(s)η(-0.5a,s)+N_b(s)η(0.5a,s)+R_b(s)η(x₀,s)＝0>

式(12)中，M_b(s)、N_b(s)和R_b(s)为边界矩阵，η为状态向量，a为石墨烯质量传感器在x方向上的长度，s为Laplace变换系数，x₀为附加质量的质心的横坐标；其中边界矩阵R_b(s)如式(13)所示；

式(13)中，R_b(s)为边界矩阵，为4×N₁阶0元素方阵，N₁为每个子结构的总体自由度数，r_b1和r_b2均为中间矩阵，m₀为附加质量的大小，I为单位矩阵，为处理边界条件后的总体刚度矩阵；

5.4)生成将式(9)所示转换后的Laplace总体运动微分方程、式(12)所示两个子结构连接处的边界条件的解如式(14)所示，且所述解的特征方程如式(15)所示；

式(14)中，M_b(s)、N_b(s)和R_b(s)为边界矩阵，a为石墨烯质量传感器在x方向上的长度，F(s)为传递矩阵，x₀为附加质量的质心的横坐标，x为横坐标，s为Laplace变换系数；

式(15)中，det为求行列式符号，M_b(s)、N_b(s)和R_b(s)为边界矩阵，a为石墨烯质量传感器在x方向上的长度，F(s)为传递矩阵，x₀为附加质量的质心的横坐标，x为横坐标，s为Laplace变换系数；

5.5)针对式(15)所示解的特征方程，令Laplace变换系数s为虚数单位i、石墨烯纳米质量传感器自由振动的固有频率ω两者之间的乘积，求解得到石墨烯纳米质量传感器自由振动的固有频率ω并作为石墨烯纳米质量传感器的振动特性分析结果输出。

本发明石墨烯纳米质量传感器振动特性分析的半解析方法具有下述优点：

1、本发明将包含附加质量的矩形结构的石墨烯纳米质量传感器在x方向上沿附加质量的质心划分为两个子区域得到对应的两个子结构，建立各个子结构的控制方程，因此无需在控制方程中考虑附加质量项，从而使问题容易求解、提高求解效率，具有求解精度高、计算过程数据存储量少、计算效率高的优点。

2、相对于其他解析或半解析方法，本发明石墨烯纳米质量传感器振动特性分析的半解析方法适用于多种边界条件，并且能够处理复杂几何形状问题；

3、本发明石墨烯纳米质量传感器振动特性分析的半解析方法解的形式统一，易于利用计算机编程，并且可以用于相对较复杂的几何区域以及边界条件问题的求解。

附图说明

图1为本发明实施例方法的基本流程示意图。

图2为本发明实施例中划分子结构的示意图。

图3为本发明实施例中将子结构划分为NE个矩形区域的示意图。

图4为本发明实施例中划分得到的一个条形单元的结构示意图。

具体实施方式

如图1所示，本实施例石墨烯纳米质量传感器振动特性分析的半解析方法的步骤包括：

1)将包含附加质量的矩形结构的石墨烯纳米质量传感器在x方向上沿附加质量的质心划分为两个子区域Ω₁和Ω₂得到对应的两个子结构(参见图2)，建立各个子结构的控制方程；

2)将每一个子结构采用NE+1条结线划分为NE个矩形区域，每一个矩形区域为一个条形单元，第j个条形单元包含第j条结线和第j+1条结线以及4个结点，如图3和图4所示，第j个条形单元的宽度为l，Oxy为条形单元局部坐标系；

3)根据每一个子结构的控制方程推导出该子结构中各个条形单元的运动微分方程；

4)针对各个子结构，将所有条形单元的运动微分方程进行组装总体运动微分方程，并针对总体运动微分方程处理边界条件；

5)对处理边界条件后的总体运动微分方程计算传递矩阵和边界矩阵，根据传递矩阵和边界矩阵求解处理边界条件后总体运动微分方程，得到石墨烯纳米质量传感器自由振动的固有频率ω并作为石墨烯纳米质量传感器的振动特性分析结果输出。

本实施例中，步骤1)中建立的各个子结构的控制方程如式(1)所示；

式(1)中，Ω₁表示子区域Ω₁对应的子结构，Ω₂表示子区域Ω₂对应的子结构，M_xx1为子区域Ω₁在x方向的弯矩，M_xy1为子区域Ω₁的扭矩，M_yy1为子区域Ω₁在y方向的弯矩，M_xx2为子区域Ω₂在x方向的弯矩，M_xy2为子区域Ω₂的扭矩，M_yy2为子区域Ω₂在y方向的弯矩，ρ为石墨烯的密度，h为石墨烯纳米质量传感器的厚度，w₁为子区域Ω₁对应的子结构对应的横向位移，w₂为子区域Ω₂对应的子结构对应的横向位移，t为时间，x为横坐标、y为纵坐标。

本实施例中，步骤1)中将每一个子结构采用NE+1条结线划分为NE个矩形区域后，每一个条形单元结线位移函数向量如式(2)所示、内部的横向位移函数如式(3)所示；

φ(x,t)＝{w_j>j>j+1>j+1}^T>

式(2)中，φ(x,t)为第j个条形单元的结线位移函数向量，w_j为第j条结线的横向位移，θ_j为第j条结线的转角，w_j+1为第j+1条结线的横向位移，θ_j+1为第j+1条结线的转角；

w(x,y,t)＝N(y)φ(x,t) (3)

式(3)中，w(x,y,t)为第j个条形单元内部的横向位移函数，N(y)为选定的形函数矩阵，φ(x,t)为第j个条形单元的结线位移函数向量。本实施例中，选定的形函数矩阵N(y)为标准Euler梁单元的形函数N＝[N₁>2>3>4]。

本实施例中，步骤3)推导出各个条形单元的运动微分方程如式(4)所示；

式(4)中，和为条形单元的刚度矩阵，和为条形单元的质量矩阵，φ_i为条形单元的结线位移函数向量，t为时间，x为横坐标、y为纵坐标，D为石墨烯纳米质量传感器弯曲刚度，N为选定的形函数矩阵N(y)，T为矩阵转置符号，ν为泊松比，ρ为石墨烯的密度，h为石墨烯纳米质量传感器的厚度，l为条形单元的宽度，μ为非局部参数。

对于式(1)所示各个子结构的控制方程，其弯矩和扭矩的具体形式如式(4-1)所示；

式(4-1)中，μ为非局部参数，D为弹性矩阵，为Laplace算子，M_xxi为第i个子区域Ω_i在x方向的弯矩，M_xyi为第i个子区域Ω_i的扭矩，M_yyi为第i个子区域Ω_i在y方向的弯矩，w_i为第i个子区域Ω_i对应的子结构对应的横向位移。

根据式(4-1)，可以得到式(1)所示各个子结构的控制方程在y方向上的等效积分“弱”形式为式(4-2)所示；

式(4-2)中，l为条形单元的宽度，D为石墨烯纳米质量传感器弯曲刚度，为权函数，w_i为第i个子区域Ω_i对应的子结构对应的横向位移，ν为泊松比，x为横坐标、y为纵坐标，ρ为石墨烯的密度，h为石墨烯纳米质量传感器的厚度。

将式(3)所示内部的横向位移函数代入式(4-2)所示各个子结构的控制方程在y方向上的等效积分“弱”形式，并令得，其中，N＝[N₁>2>3>4]为形函数，取标准Euler梁单元的形函数，即可得到式(4-3)所示函数表达式，即可得到各个条形单元的运动微分方程如式(4)所示；

式(4-3)中，l为条形单元的宽度，D为石墨烯纳米质量传感器弯曲刚度，N为选定的形函数矩阵N(y)，φ_i为条形单元的结线位移函数向量，ν为泊松比，x为横坐标、y为纵坐标，ρ为石墨烯的密度，h为石墨烯纳米质量传感器的厚度。本实施例中，选定的形函数矩阵N(y)为标准Euler梁单元的形函数。

本实施例中，步骤4)的详细步骤包括：

4.1)针对各个子结构，采用有限元法将各个条形单元的刚度矩阵和分别组装成总体刚度矩阵K⁽⁴⁾、K⁽²⁾和K⁽⁰⁾，将各个条形单元的质量矩阵和分别组装成总体质量矩阵M⁽²⁾和M⁽⁰⁾；

4.2)确定各个子结构的总体位移向量如式(5)所示；

Φ_i(x,t)＝{w₁(x,t),θ₁(x,t),w₂(x,t),θ₂(x,t),…，w_NE(x,t),θ_NE(x,t)}^T,i＝1,2(5)

式(5)中，Φ_i(x,t)为第i个子结构的总体位移向量，w₁(x,t)为第i个子结构中第1个条形单元的结线横向位移，θ₁(x,t)为第i个子结构中第一个条形单元的结线转角，w₂(x,t)为第i个子结构中第2个条形单元的结线横向位移，θ₂(x,t)为第i个子结构中第2个条形单元的结线转角，w_NE(x,t)为第i个子结构中第NE个条形单元的结线横向位移，θ_NE(x,t)为第i个子结构中第NE个条形单元的结线转角；

4.3)根据各个子结构的总体位移向量组装总体运动微分方程如式(6)所示；

式(6)中，Φ_i为第i个子结构的总体位移向量，K⁽⁴⁾、K⁽²⁾和K⁽⁰⁾为总体刚度矩阵，M⁽²⁾和M⁽⁰⁾为总体质量矩阵，t为时间，x为横坐标；

4.4)针对总体运动微分方程处理边界条件，得到总体运动微分方程如式(7)所示；

式(7)中，为第i个子结构处理边界条件后的总体位移向量，和为处理边界条件后的总体刚度矩阵，和为处理边界条件后的总体质量矩阵。

本实施例中，步骤5)的详细步骤包括：

5.1)将各个子结构处理边界条件后的总体运动微分方程取时间的Laplace变换，得到各个子结构的Laplace总体运动微分方程如式(8)所示；

式(8)中，为第i个子结构处理边界条件后的总体位移向量的Laplace变换，‘^’为Laplace变换符号，s为Laplace变换系数，和为处理边界条件后的总体刚度矩阵，为处理边界条件后的总体刚度矩阵，D(s)、D₂、A均为中间矩阵；

5.2)基于定义的状态向量η(x,s)，将Laplace总体运动微分方程转换为式(9)所示：

式(9)中，η(x,s)为定义的状态向量，且定义的状态向量η(x,s)的函数表达式如式(10)所示，F(s)为传递矩阵，传递矩阵F(s)的函数表达式如式(11)所示；

式(10)中，η(x,s)为定义的状态向量，η₁(x,s)和η₂(x,s)均为中间向量，为第1个子结构处理边界条件后的总体位移向量的Laplace变换，为第2个子结构处理边界条件后的总体位移向量的Laplace变换；

式(11)中，F(s)为传递矩阵，为中间矩阵，为4×N₁阶0元素方阵，N₁为每个子结构的总体自由度数，D(s)、D₂为式(8)中所示的中间矩阵，I为单位矩阵；

5.3)建立两个子结构连接处的边界条件如式(12)所示；

M_b(s)η(-0.5a,s)+N_b(s)η(0.5a,s)+R_b(s)η(x₀,s)＝0(12)

式(12)中，M_b(s)、N_b(s)和R_b(s)为边界矩阵，η为状态向量，a为石墨烯质量传感器在x方向上的长度，s为Laplace变换系数，x₀为附加质量的质心的横坐标；其中边界矩阵R_b(s)如式(13)所示；

式(13)中，R_b(s)为边界矩阵，为4×N₁阶0元素方阵，N₁为每个子结构的总体自由度数，r_b1和r_b2均为中间矩阵，m₀为附加质量的大小，I为单位矩阵，为处理边界条件后的总体刚度矩阵；

5.4)生成将式(9)所示转换后的Laplace总体运动微分方程、式(12)所示两个子结构连接处的边界条件的解如式(14)所示，且解的特征方程如式(15)所示；

式(14)中，M_b(s)、N_b(s)和R_b(s)为边界矩阵，a为石墨烯质量传感器在x方向上的长度，F(s)为传递矩阵，x₀为附加质量的质心的横坐标，x为横坐标，s为Laplace变换系数；

式(15)中，det为求行列式符号，M_b(s)、N_b(s)和R_b(s)为边界矩阵，a为石墨烯质量传感器在x方向上的长度，F(s)为传递矩阵，x₀为附加质量的质心的横坐标，x为横坐标，s为Laplace变换系数；

5.5)针对式(15)所示解的特征方程，令Laplace变换系数s为虚数单位i、石墨烯纳米质量传感器自由振动的固有频率ω两者之间的乘积，求解得到石墨烯纳米质量传感器自由振动的固有频率ω并作为石墨烯纳米质量传感器的振动特性分析结果输出。

以上所述仅是本发明的优选实施方式，本发明的保护范围并不仅局限于上述实施例，凡属于本发明思路下的技术方案均属于本发明的保护范围。应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理前提下的若干改进和润饰，这些改进和润饰也应视为本发明的保护范围。