一种临时仰拱或横撑的受力与变形分析方法

摘要

本发明涉及隧道工程领域，具体涉及一种临时仰拱或横撑的受力与变形分析方法。该分析方法包括以下步骤：(1)建立临时仰拱(横撑)的弹性地基圆弧曲梁模型；(2)建立临时仰拱(横撑)的挠曲微分方程，并进行求解得到微分方程一般形式的解；(3)求得临时仰拱(横撑)在两端作用相同剪力、弯矩以及轴力时任意截面的内力和变形表达式；(4)得到临时仰拱(横撑)与钢架整体求解中所需的钢架拱脚处的各单位变位和载变位；(5)求得钢架拱顶以及拱脚处的多余未知力；(6)确定拱部钢架作用于临时仰拱(横撑)两端的剪力、弯矩和轴力值；(7)得到在拱部钢架传递的荷载作用下临时仰拱(横撑)任意截面的挠度、转角、弯矩、剪力和地基反力值，最终完成临时仰拱(横撑)受力与变形分析。

说明书

一、技术领域：

本发明涉及隧道工程领域，具体涉及一种临时仰拱或横撑的受力与变形分析方法。

二、背景技术：

设置临时仰拱或横撑是软弱地层隧道常用的一种围岩大变形控制措施。设置临时仰拱或横撑，及时封闭支护结构，不仅可以迅速抑制围岩的收敛变形，而且可以分担初支钢架拱脚的地基荷载从而减小隧道的拱部沉降和地表沉降。目前关于临时仰拱或横撑的应用报道已有很多，在作用效果上也进行了一些研究，但现有研究结论只是普遍肯定了临时仰拱在抑制围岩收敛变形方面的作用效果，而关于临时仰拱或横撑在分担钢架拱脚地基荷载以及减小隧道沉降等施工中同样值得关注的方面，现有的研究均未曾涉及。此外，我国现行的相关隧道设计规范均未给出临时仰拱或横撑的力学计算模型和相应的受力分析方法，导致临时仰拱或横撑在设计时只能凭经验选取设计参数。随着大跨度软弱地层隧道的不断涌现，临时仰拱或横撑必将大量使用。考虑到隧道临时仰拱或横撑与永久仰拱施工工艺和所受支承条件的不同，在缺乏施工经验的情况下，寻求一种适用于临时仰拱或横撑的受力与变形分析方法、为设计提供理论依据成为当务之急。

三、发明内容

本发明的提供一种临时仰拱或横撑的受力与变形分析方法。

为实现上述目的，本发明采用的技术方案为：一种临时仰拱或横撑的受力与变形分析方法，其特征在于：所述的方法步骤为：

步骤1)：建立临时仰拱或横撑的弹性地基圆弧曲梁模型；

步骤2)：根据步骤1)建立的临时仰拱或横撑的弹性地基圆弧曲梁模型，，建立临时仰拱或横撑的挠曲微分方程，经求解得到临时仰拱或横撑挠度、弯矩、剪力、轴力和截面转角的一般表达式；

步骤3)：根据步骤2)得到的临时仰拱或横撑挠度、弯矩、剪力、轴力和截面转角的一般表达式，利用进一步求得临时仰拱或横撑在两端作用相同剪力、弯矩以及轴力时任意截面的内力和变形表达式；

步骤4)：根据步骤3)所得临时仰拱或横撑在两端承受相同剪力、弯矩以及轴力时任意截面的内力和变形表达式，进一步得到临时仰拱或横撑与钢架整体求解中所需的钢架拱脚处的各单位变位和载变位；

步骤5)：根据步骤4)所得钢架拱脚处的各单位变位和载变位，采用力法求解得到钢架拱顶以及拱脚处的多余未知力；

步骤6)：根据步骤5)得到的钢架拱顶以及拱脚处的多余未知力，确定作用于临时仰拱或横撑两端的剪力、弯矩和轴力值；

步骤7)：利用步骤6)得到的临时仰拱或横撑两端的剪力、弯矩和轴力值以及步骤3)得到的临时仰拱或横撑在两端分别承受相同剪力、弯矩以及轴力时任意截面的内力和变形表达式，得到在拱部钢架传递的荷载作用下临时仰拱或横撑任意截面的挠度、转角、弯矩、剪力和地基反力值，最终完成临时仰拱或横撑的受力与变形分析。

所述步骤1)建立的临时仰拱或横撑弹性地基曲梁模型应该满足以下条件：

A：临时仰拱或横撑为弹性地基上的圆弧曲梁，所受径向地基反力服从温克尔假定；

B：临时仰拱或横撑为弹性体，服从胡克定律；

C：临时仰拱或横撑厚度相比圆弧半径很小，属于薄梁。

与现有技术相比，本发明具有如下优点和效果：

本发明结合临时仰拱或横撑的具体施工工艺，通过考虑拱部钢架与临时仰拱仰拱或横撑以及拱脚下伏地基的共同承载和协调变形，提供一种适用于临时仰拱或横撑的受力与变形分析方法，为临时仰拱或横撑设计提供理论依据，避免了临时仰拱或横撑在设计时仅凭经验选取设计参数而存在的盲目性。

四、附图说明：

图1为临时仰拱或横撑力学计算模型及其受力分析方法流程图；

图2为临时仰拱或横撑力学计算模型示意图；

图3为临时仰拱或横撑微段的受力平衡示意图；

图4为临时仰拱或横撑两端作用相同弯矩示意图；

图5为临时仰拱或横撑两端作用相同剪力示意图；

图6为临时仰拱或横撑两端作用相同轴力示意图；

图7为钢架与临时仰拱或横撑的力法基本体系示意图；

五、具体实施方式

下面结合具体的实施方式来对本发明的技术方案做进一步的详细说明：

一种临时仰拱或横撑的受力与变形分析方法步骤为：

步骤1)：建立临时仰拱或横撑的弹性地基圆弧曲梁模型；

步骤2)：根据步骤1)建立的临时仰拱或横撑的弹性地基圆弧曲梁模型，，建立临时仰拱或横撑的挠曲微分方程，经求解得到临时仰拱或横撑挠度、弯矩、剪力、轴力和截面转角的一般表达式；

步骤3)：根据步骤2)得到的临时仰拱或横撑挠度、弯矩、剪力、轴力和截面转角的一般表达式，利用进一步求得临时仰拱或横撑在两端作用相同剪力、弯矩以及轴力时任意截面的内力和变形表达式；

步骤4)：根据步骤3)所得临时仰拱或横撑在两端承受相同剪力、弯矩以及轴力时任意截面的内力和变形表达式，进一步得到临时仰拱或横撑与钢架整体求解中所需的钢架拱脚处的各单位变位和载变位；

步骤5)：根据步骤4)所得钢架拱脚处的各单位变位和载变位，采用力法求解得到钢架拱顶以及拱脚处的多余未知力；

步骤6)：根据步骤5)得到的钢架拱顶以及拱脚处的多余未知力，确定作用于临时仰拱或横撑两端的剪力、弯矩和轴力值；

步骤7)：利用步骤6)得到的临时仰拱或横撑两端的剪力、弯矩和轴力值以及步骤3)得到的临时仰拱或横撑在两端分别承受相同剪力、弯矩以及轴力时任意截面的内力和变形表达式，得到在拱部钢架传递的荷载作用下临时仰拱或横撑任意截面的挠度、转角、弯矩、剪力和地基反力值，最终完成临时仰拱或横撑的受力与变形分析。

所述步骤1)建立的临时仰拱或横撑弹性地基曲梁模型应该满足以下条件：

A：临时仰拱或横撑为弹性地基上的圆弧曲梁，所受径向地基反力服从温克尔假定；

B：临时仰拱或横撑为弹性体，服从胡克定律；

C：临时仰拱或横撑厚度相比圆弧半径很小，属于薄梁。

实施例：

如图1所示，首先建立临时仰拱(横撑)的弹性地基曲梁模型，端部受到拱部钢架传递的弯矩M_j、剪力Q_j和轴力N_j，同时受到下伏地基的反力，如图2所示，并满足以下条件：

(1)临时仰拱(横撑)为弹性地基上的圆弧曲梁，所受径向地基反力服从温克尔假定；

(2)临时仰拱(横撑)为弹性体，服从胡克定律；

(3)临时仰拱(横撑)厚度相比圆弧半径很小，属于薄梁。

在圆弧坐标系下，从临时仰拱(横撑)上截取曲率半径为r的任意微段，在和截面上分别附以剪力Q和Q+dQ、弯矩M和M+dM、轴力N和N+dN以及地基反力pdx，各力的正方向如图3中所示。根据直径方向和切向方向的受力平衡以及微段的力矩平衡，可得如下三个平衡方程：

dM＝Qdx (3)

将p＝Kb₀y，分别代入式(1)～(3)，可得

式(3)对x再求一阶导数，有

将式(5)代入式(6)，可得

利用式(3)，式(7)进一步表示为：

对梁挠曲时弹性曲线的微分方程

分别求一阶和三阶导数，有

先将式(10)代入式(8)，然后再将式(8)代入式(11)可得：

上式为临时仰拱(横撑)视为弹性地基圆弧曲梁时的基本微分方程。作变量代换，令则式(12)可进一步表示为：

式(13)的通解可表示为

其中：

将式(14)代入式(1)～(3)和式(9)，可得临时仰拱(横撑)任一截面的弯矩、剪力及轴力表达式如下：

设坐标原点处截面的转角为θ₀，则临时仰拱(横撑)任一截面的转角可表示为：

由于临时仰拱(横撑)的半径r较大，一般均满足可视为平曲梁。此时有，α^*≈β^*≈rλ^*＝ρ，其中相应地，挠曲时的微分方程(式(9))可近似表示为：

进一步可得

进而由公式(4)可得：

若取对称轴为竖向坐标轴，则在对称轴截面处有：和由式(14)和(16)可进一步表示为：α^*C₂+β^*C₃＝0，β^*C₂-α^*C₃＝0，可得C₂＝C₃＝0。

那么，临时仰拱(横撑)为平曲梁时挠度的一般表达式可简化表示为：

临时仰拱为平曲梁时弯矩的一般表达式可简化表示为：

临时仰拱为平曲梁时剪力的一般表达式可简化表示为：

临时仰拱为平曲梁时轴力的一般表达式可简化表示为：

N＝rKb₀C₀>

在对称情况下，在截面处有θ₀＝0和u₀＝0，进而将式(23)代入式(18)可得临时仰拱为平曲梁时截面转角的一般表达式为：

下面根据临时仰拱(横撑)挠度、弯矩、剪力、轴力和截面转角的一般表达式，进一步求得临时仰拱(横撑)在两端作用相同剪力、弯矩以及轴力时任意截面的内力和变形表达式。

(1)两端作用相同弯矩

当临时仰拱(横撑)两端作用相同弯矩时，如图4所示，根据两端边界条件：可得：

进而可得：

(2)两端作用相同剪力

当临时仰拱(横撑)两端作用相同剪力时，如图5所示，根据两端边界条件：可得：

进而可得：

(3)两端作用相同轴力

当临时仰拱(横撑)两端作用相同轴力时，如图6所示，根据两端边界条件：和可得：C₁＝0，C₄＝0。

进而可得：

临时仰拱(横撑)作为平曲梁，根据以上分析，当两端同时作用有相同弯矩M_j、剪力Q_j和轴力N_j时，利用叠加原理可求得式(22)～(26)中的未知系数为：

由于钢架是弹性固定在临时仰拱(横撑)两端的，在钢架与临时仰拱(横撑)的整体求解过程中，须考虑两者连接处的变形协调性。临时仰拱作为平曲梁，其轴力对自身变形的影响非常小而可以忽略，钢架各拱脚的水平位移和竖向位移可近似取为临时仰拱(横撑)端部挠度的水平分量和竖向分量。鉴此，根据临时仰拱(横撑)在两端承受相同剪力、弯矩等时任意截面的内力和变形表达式，可得到临时仰拱(横撑)与钢架整体求解中所需的钢拱脚处的各单位变位和载变位为：

其中对于浅埋无偏压隧道有

对于深埋隧道有

所述β_1L、β_1R、u_1L和u_1R分别为左、右拱脚截面处同时作用单位力矩时所引起的左、右拱脚截面转角和水平位移；所述v_1L为左、右拱脚截面处同时作用单位力矩时左拱脚截面处的竖向位移；所述β_2L、β_2R、u_2L和u_2R分别为左、右拱脚截面处同时作用单位水平力时所引起的左、右拱脚截面转角和水平位移；所述v_2L为左、右拱脚截面处同时作用单位水平力时左拱脚截面处的水平位移；所述β_3L、β_3R、u_3L和u_3R分别为左、右拱脚截面处同时作用单位竖向力时所引起的左、右拱脚截面转角和水平位移；所述v_3L为左、右拱脚截面处同时作用单位竖向力时左拱脚截面处的竖向位移；所述β_pL、β_pR、u_pL和u_pR分别为围岩荷载所引起的左、右拱脚截面转角和水平位移；所述v_pL为围岩荷载作用下左拱脚截面处的竖向位移；所述q₀为隧道总的竖向围岩荷载，单位为N/m，可按相关隧道设计规范中浅埋隧道和深埋隧道的围岩压力计算公式分别进行计算；η为作用于钢架上的围岩荷载比例；γ为围岩容重，单位为N/m³；λ为侧压力系数；l为上台阶开挖跨度，单位为m；f为临时仰拱(横撑)上方的隧道开挖高度，单位为m；为临时仰拱(横撑)端部相对于隧道中线的夹角，单位为°。

根据钢架拱脚处的各单位变位和载变位(式(40)～(51))，并采用力法可求得钢架拱顶以及拱脚处的多余未知力(见图7)为：

其中

式中

对于浅埋无偏压隧道有

对于深埋隧道有

所述多余未知力X₁为钢架拱顶截面的弯矩，单位为N·m；所述多余未知力X₂为钢架拱顶截面的轴力，单位为N；所述多余未知力X₃为临时仰拱(横撑)支护下钢架拱脚的地基反力，单位为N；所述A_f为钢架拱脚与基底的接触面积，单位为m²；所述R为隧道拱部半径，单位为m；E_sI_s为钢架的抗弯刚度，单位为N·m²；所述δ₁₁、δ₁₂、δ₂₁和δ₂₂为钢架拱脚刚性固定时，X₁、X₂作用下拱顶截面处分别沿X₁、X₂方向产生的单位位移；所述Δ_1p、Δ_2p分别为围岩荷载作用下钢架拱脚刚性固定时拱顶截面处分别沿X₁、X₂方向产生的位移。

在求得钢架拱顶以及拱脚的多余未知力X₁、X₂和X₃后，即可确定拱部钢架作用于临时仰拱(横撑)两端的剪力、弯矩和轴力值分别为：

其中对于浅埋隧道有

对于深埋隧道有

利用上述过程求得的临时仰拱(横撑)两端的剪力值和弯矩值(式(63))以及临时仰拱(横撑)任意截面的挠度、转角、弯矩、剪力和地基反力表达式(式(22)～(26))，得到在拱部钢架传递的荷载作用下临时仰拱(横撑)任意截面的挠度、转角、弯矩、剪力和地基反力值，最终完成临时仰拱(横撑)的受力与变形分析。