无模液压准静态薄板鼓胀变形极限应变及载荷的图算方法

摘要

本发明涉及一种无模液压准静态薄板鼓胀变形极限应变及载荷的图算方法，本方法以无因次挠度为横坐标，分别以等效应力和等效应变为左右纵坐标，依次画出基于几何及物理关系的联合曲线，基于静力平衡关系的曲线簇，基于几何关系的应变‑无因次挠度曲线。通过曲线交点可查得与作用静压载荷相应的变形、应力和应变等。曲线切点即为拉伸失稳点，通过该点，首先可获得对应平衡关系曲线的极限载荷，然后结合应变‑无因次挠度曲线可在右纵坐标查得极限应变。本发明的有益效果是：(1)求解稳定。(2)适用于其他本构模型材料。(3)可用于求解加载过程的变形、应力、应变。(4)计算过程简单明了，物理意义明确。(5)可得到最大挠度以及最大应力值。

说明书

技术领域

本发明涉及一种无模液压准静态条件下获得圆形加压腔薄板鼓胀变形极限应变与极限载荷的图算法。

背景技术

对幂硬化金属材料，Lankford等(Lankford W T,Saibel E.Some problems inunstable plastic flow under biaxial tension[J].Trans AIME,1947,171:562-573)由塑性拉伸失稳条件导出单向拉伸时的极限应变为(n为应变硬化指数)

ε_Lu＝n

该数值明显要小于鼓胀变形(双向拉伸)时的极限应变值。

Hill(Hill R.A theory of the plastic bulging of a metal diaphragm bylateral pressure[J].Philosophy Magazine,1950,41:1133-1142)基于球形几何假设和非均匀减薄弧线质点轨迹的假定，通过塑性拉伸失稳条件导出了鼓胀变形时的极限应变为

Bressan等(Bressan J D,Williams J A.The use of a shear instabilitycriterion to predict local necking in sheet metal deformation.InternationalJournal of Mechanical Sciences,1983,25:155-168)由剪切失稳条件获得了应变极限的表达式为

多年来在理论上没有再获得突破，极限应变主要通过实验来获得。如Sato等(SatoK,Yu Q,Hiramoto J,et al.A method to investigate strain rate effects onnecking and fracture behaviors of advanced high-strength steels using digitalimaging strain analysis[J].International Journal of Impact Engineering,2015,75:11-26)对单轴拉伸试样裂口采用数字成像应变分析获得极限应变，Muldera等(MulderaJ,Vegtera H,Aretzb H,et al.Accurate determination of flow curves using thebulge test with optical measuring systems[J].Journal of Materials ProcessingTechnology,2015,226:169–187)采用光学测量方法获得载荷-塑性应变曲线，进而可测得鼓胀变形的极限应变与极限载荷。

关于极限载荷的理论获得，同样基于简化假设。最早，Lake等(Lake G F,Inglis NP.The design and manufacture of bursting disks[J].Proceedings of theInstitution of Mechanical Engineers,1939,142:365-378)将薄壳近似为等厚薄球壳，采用均匀减薄不变体积假设，导出鼓胀薄壳的极限载荷

式中，σ_b、s₀、d分别为抗拉强度极限、初始板厚和承压区直径。

金巨年(金巨年.防爆薄膜极限强度(爆破压力)及其变形的研究[J].大连工学院学报,1961,(3):145-169)实验发现2.60不应该是常数，大致在3.30～4.20范围之内。为此，他将二者合并为一个材料参数。

Kanazawa T(1968)、吴泽炜(1981)等学者也提出了类似的计算式。

Chater等(Chater E,Neale K.Finite plastic deformation of a circularmembrane under hydrostatic pressure-Ⅰrate-independent behaviour[J].International Journal of Mechanical Sciences.1983,25:219-233)认为当中央挠曲高度等于承压区半径(即为半球壳)时压力达到极值，由此导出

式中σ_s为单向拉伸的屈服应力。实验已表明准静态下液压鼓胀变形挠曲高度达不到这么大。

与极限应变类似，鼓胀变形极限载荷的获得，多年来理论上没有再获得突破，极限载荷主要通过实验结合数值模拟方法来获得。如Reis等(Reis L C,Oliveira M C,SantosA D,et al.On the determination of the work hardening curve using the bulgetest[J].International Journal of Mechanical Sciences,2016,105:158–181)采用有限元软件模拟，结合实验测量(压力载荷p、极顶中央挠度h)方法，获得p-h曲线，从而可得到极限载荷值。

上述关于圆形加压腔薄板鼓胀变形极限应变与极限载荷的各种近似计算方法，均是在基本假设的基础上导出的，与实际值偏差较大。目前主要通过实验方法结合数值模拟方法来获得，工作量大，对实验的依赖严重。

发明内容

本发明的目的在于克服现有薄板鼓胀变形极限应变与极限载荷获得方法存在的不足而提出一种对应的解决办法。

本发明的技术方案能够予以实现，主要基于以下技术原理：(1)薄板在鼓胀变形过程中需同时符合几何关系、物理关系与静力平衡关系。(2)最终拉伸破裂起始于极顶，极顶中央为最大应力和最大应变区。(3)极顶处应力的大小与所处位置薄壳的壁厚和曲率半径两个几何因素相关。均匀减薄假设使极顶的计算壁厚大于实际值，低估了应力值；假设薄壳各质点在变形过程中始终沿着与壳面相垂直的弧线轨迹移动，考虑极顶厚度的变化，忽略了曲率变化产生的加强作用，造成最大应力值的低估。据此，真实解应该介于前述两种近似解之间。(4)几何关系、静力平衡关系、物理关系(材料本构关系)分别如式(1)～式(3)。

σ_e＝f(ε_e)(3)

式中，σ_e、ε_e和h分别为von>e)代表描述材料本构关系的等效应力与等效应变间的函数关系，p为压力载荷，s₀为初始板厚，d为承压区直径。

(5)同时满足上述三个表达式的最大应变值即为极限应变ε_b，相应的最大载荷值即为极限载荷p_b。(6)通过图算法，实现极限应变与极限载荷的取得。

本发明具体采取的方法包括如下步骤：

S1:取无因次挠度为横坐标，取von Mises等效应力为左纵坐标，取von Mises等效应变为右纵坐标；

S2:联立式(1)与式(3)，

σ_e＝f(ε_e)(3)

式中，σ_e、ε_e和h分别为von>e)代表描述材料本构关系的等效应力与等效应变间的函数关系，p为压力载荷，s₀为初始板厚，d为承压区直径。

以无因次挠度为横坐标以及等效应力σ_e为左纵坐标画出几何及物理关系曲线(13)；

S3：根据静压压强p值，按式以无因次挠度为横坐标以及等效应力σ_e为左纵坐标画出静力平衡关系曲线簇中对应作用载荷下的平衡关系曲线；

S4：找到几何及物理关系曲线与静力平衡关系曲线簇中对应作用载荷下的平衡关系曲线的交点，在该交点处同时满足几何关系、物理关系与静力平衡关系，通过所述交点可查出对应的无因次挠度以及应力、应变，即为与静压压强p值对应的解；

S5：不断增加静压压强p值，画出系列的沿静力平衡关系曲线簇载荷增加方向的平衡关系曲线簇，直到静力平衡关系曲线簇中对应作用载荷下的平衡关系曲线超过几何及物理关系曲线为止；

S6：调整静压压强p值，并对精度进行控制，画出一条与极限载荷对应的静力平衡关系曲线，正好与几何及物理关系曲线相切，所述与极限载荷对应的静力平衡关系曲线即为与极限载荷p_b对应的静力平衡关系曲线，切点即为拉伸失稳点，对应的静压压强值即为极限载荷p_b。

S7：按式(1)以无因次挠度为横坐标以及等效应变ε_e为右纵坐标画出应变-无因次挠度曲线，从拉伸失稳点沿由拉伸失稳点到极限无因次挠度值的路线方向垂直向下，找到对应横坐标的极限无因次挠度值，读取数值即为无因次挠度的最大值；从拉伸失稳点沿由拉伸失稳点到应变-无因次挠度曲线极限状态点的路线方向垂直向上，找到与应变-无因次挠度曲线的交点，该交点即为应变-无因次挠度曲线的极限状态点，从应变-无因次挠度曲线的极限状态点沿由应变-无因次挠度曲线极限状态点查取极限应变值的路线方向水平向右，找到与右纵坐标的极限应变值，读取数值即为极限应变ε_b。

上述方案中，所述无因次挠度为极顶中央挠度h与承压区直径d的比值h/d，其范围为大于0至小于等于0.5。

上述方案中，步骤S6中，对精度进行控制时的精度确定方法为：由极限无因次挠度最大值带入式(1)、(3)求得一个等效应力值σ_e13，由极限无因次挠度最大值带入式(2)求得另一个等效应力值σ_e2，则求解精度为(σ_e2―σ_e13)/σ_e13。

本发明的有益效果是：

(1)图算法与鼓胀实验及有限元模拟比较，求解稳定，比有限元模拟方法简单。

(2)图算法不仅适用于幂硬化材料，也适用于其他本构模型材料。

(3)图算法不仅用于求解极限状态，也可用于求解加载过程的变形、应力、应变等。

(4)图算法计算过程简单明了，求解过程可直观反映从初始鼓胀变形至拉伸失稳的整个过程，物理意义明确。

(5)采用该图算方法，在获得极限应变与极限载荷的同时，可以得到最大挠度以及最大应力值。

附图说明

图1是本发明图算法的求解示意图。

图中：1是应变-无因次挠度曲线(式(1)，几何关系曲线)，对应图中的横坐标与右纵标；2是应变-无因次挠度曲线极限状态点；3是在右纵坐标查得极限应变值；4是右纵坐标(等效应变)；5是由应变-无因次挠度曲线极限状态点查取极限应变值的路线方向；6是由拉伸失稳点到应变-无因次挠度曲线极限状态点的路线方向；7是与极限载荷对应的静力平衡关系曲线；8是拉伸失稳点，即与极限载荷对应的静力平衡关系曲线与几何及物理关系曲线的交点；9是由拉伸失稳点到极限无因次挠度值的路线方向；10是在横坐标查得极限无因次挠度值；11是横坐标(无因次挠度)，即极顶中央挠度h与承压区直径d的比值；12是对应载荷下静力平衡关系曲线与几何及物理关系曲线的交点；13是几何及物理关系曲线，即式(1)和式(3)的联合曲线，对应横坐标与左纵坐标；14是静力平衡关系曲线簇载荷增加方向；15是静力平衡关系曲线簇中对应作用载荷下的平衡关系曲线，即式(2)所表示的曲线，对应横坐标与左纵坐标；16是左纵坐标(等效应力)，单位MPa。

具体实施方式

参照图1，本实施例的无模液压准静态薄板鼓胀变形极限应变及载荷的图算方法，包括如下步骤：

S1:取无因次挠度为横坐标11，取von Mises等效应力为左纵坐标16，取von Mises等效应变为右纵坐标4；所述无因次挠度为极顶中央挠度h与承压区直径d的比值h/d，其范围为大于0至小于等于0.5。

S2:联立式(1)与式(3)，

ε_e＝αln[1+4(h/d)²](1)

σ_e＝f(ε_e)(3)

式中，σ_e、ε_e和h分别为von>e)代表描述材料本构关系的等效应力与等效应变间的函数关系，p为压力载荷，s₀为初始板厚，d为承压区直径。

以无因次挠度为横坐标以及等效应力σ_e为左纵坐标画出几何及物理关系曲线13；

S3：根据静压压强p值，按式(2)以无因次挠度为横坐标以及等效应力σ_e为左纵坐标画出静力平衡关系曲线簇中对应作用载荷下的平衡关系曲线15；

S4：找到几何及物理关系曲线13与静力平衡关系曲线簇中对应作用载荷下的平衡关系曲线15的交点12，在该交点12处同时满足几何关系、物理关系与静力平衡关系，通过所述交点12可查出对应的无因次挠度以及应力、应变，即为与静压压强p值对应的解；

S5：不断增加静压压强p值，画出系列的沿静力平衡关系曲线簇载荷增加方向14的平衡关系曲线簇，直到静力平衡关系曲线簇中对应作用载荷下的平衡关系曲线15超过几何及物理关系曲线13为止；

S6：调整静压压强p值，并对精度进行控制，画出一条与极限载荷对应的静力平衡关系曲线7，正好与几何及物理关系曲线13相切，所述与极限载荷对应的静力平衡关系曲线7即为与极限载荷p_b对应的静力平衡关系曲线，切点即为拉伸失稳点8，对应的静压压强值即为极限载荷p_b。其中，对精度进行控制时的精度确定方法为：由极限无因次挠度最大值带入式(1)、(3)求得一个等效应力值σ_e13，由极限无因次挠度最大值带入式(2)求得另一个等效应力值σ_e2，则求解精度为(σ_e2―σ_e13)/σ_e13。

S7：按式(1)以无因次挠度为横坐标以及等效应变ε_e为右纵坐标画出应变-无因次挠度曲线1，从拉伸失稳点8沿由拉伸失稳点到极限无因次挠度值的路线方向9垂直向下，找到对应横坐标的极限无因次挠度值10，读取数值即为无因次挠度的最大值；从拉伸失稳点8沿由拉伸失稳点到应变-无因次挠度曲线极限状态点的路线方向6垂直向上，找到与应变-无因次挠度曲线1的交点，该交点即为应变-无因次挠度曲线的极限状态点2，从应变-无因次挠度曲线的极限状态点2沿由应变-无因次挠度曲线极限状态点查取极限应变值的路线方向5水平向右，找到与右纵坐标的极限应变值3，读取数值即为极限应变ε_b。