一种获取行星齿轮错位量的有限元方法

摘要

本发明涉及一种获取行星齿轮错位量的有限元方法，包括以下步骤：1)建立轴部件的有限元模型；2)建立行星架的有限元模型；3)建立滚动轴承的有限元模型；4)建立行星齿轮有限元模型；5)建立行星齿轮传动系统静力学模型：根据轴部件、滚动轴承、行星架、齿轮之间的连接关系，采用有限元方法组集各部件的刚度矩阵，建立完整的行星齿轮传动系统静力学模型；6)传动系统静力学求解：采用牛顿‑拉弗森方法求解系统非线性静力学方程；7)计算行星齿轮错位量：即太阳轮和行星轮的错位量以及齿圈和行星轮的错位量。

说明书

技术领域

本发明涉及一种获取行星齿轮错位量的有限元方法，属于机械传动技术领域。

背景技术

行星齿轮广泛应用于驱动桥、变速箱等机械传动系统，为了确保行星齿轮设计满足性能要求，国际上普遍采用ISO6336对行星齿轮的承载能力进行计算校核。行星齿轮传动系统受载变形，会引起齿轮错位，导致齿轮受载不均，错位量越大，齿轮的承载能力越差。在ISO6336中，齿轮错位量f_sh对齿轮性能的影响体现为齿间载荷分配系数K_Fα、K_Hα和齿向载荷分布系数K_Fβ、K_Hβ，其中，齿间载荷分配系数体现了齿轮错位量对轮齿之间载荷分配不均匀程度的影响，齿向载荷分布系数体现了齿轮错位量对齿宽方向载荷分布不均匀程度的影响。

行星齿轮错位量f_sh由传动系统的结构形式和载荷工况共同决定，目前有关行星齿轮错位量计算方法的研究鲜有报道，式(1)为ISO6336(参考文献：ISO>sh的近似计算公式：

$>f_{sh}=\frac{F_m}{b}0.023\left[\left|B^{*}+K^{\prime }\frac{ls}{d_1^2}{\left(\frac{d_1}{d_{sh}}\right)}^4-0.3\right|+0.3\right]{\left(\frac{b}{d_1}\right)}^2---\left(1\right)$>

上式中，F_m为分度圆上的平均端面切向力；b为齿宽；B^*为功率系数；K′为主动轮结构系数；l为轴承跨距；s为主动轮齿宽中点至轴承跨距中点的距离；d₁为主动轮分度圆直径；d_sh为主动轮弯曲变形当量直径。

ISO6336齿轮错位量计算方法主要存在以下不足：1)公式过于简化，仅适用于简单结构形式和简单受力状态下单对齿轮副错位量的近似计算，无法准确体现行星齿轮传动系统的结构特征，尤其没有考虑滚动轴承的非线性刚度特性对行星齿轮传动系统受载变形的影响。2)无法准确体现行星齿轮传动系统在承受复杂载荷工况时各行星轮分支齿轮错位量的差异。3)无法准确体现行星轮在不同方位时的齿轮错位量变化。

发明内容

针对上述问题，本发明的目的是提供一种获取行星齿轮错位量的有限元方法，该方法能够克服上述技术问题。

为实现上述目的，本发明采取以下技术方案：一种获取行星齿轮错位量的有限元方法，包括以下步骤：1)建立轴部件的有限元模型：采用欧拉-伯努利空间梁单元建立轴部件的有限元模型，获取轴部件的刚度矩阵；2)建立行星架的有限元模型：采用刚性梁单元对行星架单元进行模拟，获得行星架的刚度矩阵；3)建立滚动轴承的有限元模型：采用具有非线性耦合刚度特性的轴承单元对滚动轴承进行模拟，获得滚动轴承的刚度矩阵；4)建立行星齿轮有限元模型：分别建立太阳轮与行星轮的等效啮合模型和齿圈与行星轮的等效啮合模型，获得太阳轮与行星轮的等效啮合刚度矩阵和齿圈与行星轮的等效啮合刚度矩阵；5)建立行星齿轮传动系统静力学模型：根据轴部件、滚动轴承、行星架、齿轮之间的连接关系，采用有限元方法组集各部件的刚度矩阵，建立完整的行星齿轮传动系统静力学模型；6)传动系统静力学求解：采用牛顿-拉弗森方法求解系统非线性静力学方程；7)计算行星齿轮错位量：即太阳轮和行星轮的错位量以及齿圈和行星轮的错位量。

所述步骤1)中的轴部件包括输入轴、行星架轴、齿圈轴、行星轮销轴和行星轮轴，其中，所述行星轮销轴和行星轮轴的数量均等于行星轮的个数。

所述步骤4)中建立太阳轮与行星轮的等效啮合模型并获得太阳轮与行星轮的等效啮合刚度矩阵的过程如下：

太阳轮与行星轮为外啮合齿轮副，建立系统全局坐标系OXYZ和行星轮局部坐标系o₂x₂y₂z₂，其中，系统全局坐标系OXYZ的Z轴正方向与X、Y轴满足右手定则，坐标原点O定义为太阳轮中心；定义行星轮方位角θ为x₂与X的夹角，太阳轮中心梁单元节点为o₁，行星轮中心梁单元节点为o₂，太阳轮等效啮合节点为p₁，行星轮在太阳轮一端的等效啮合节点为p₂₁，p₁和p₂₁均有6个自由度；o₁与p₁、o₂与p₂₁之间采用刚性梁单元连接，刚度矩阵表示为K_g21，p₁和p₂₁之间采用沿齿轮等效啮合力作用线方向的空间弹簧单元连接，坐标系o₂x₂y₂z₂下的等效啮合力作用线方向矢量n₀₂₁表示为式(3)：

n₀₂₁＝[n_x21,n_y21,n_z21]^T>

上式中，n_x21、n_y21、n_z21分别为n₀₂₁在各坐标轴方向上的分量系数；

等效啮合节点p₁和p₂₁的坐标位置相同，根据式(4)求得：

$>\left(\begin{array}{c}\overline{o_1{p}_1}=\frac{N_1}{N_1+N_2}L\\ \overline{o_2{p}_{21}}=\frac{N_2}{N_1+N_2}L\end{array}\right)---\left(4\right)$>

上式中，N₁为太阳轮齿数；N₂为行星轮齿数；L为太阳轮与行星轮的中心距；

太阳轮与行星轮齿轮副的名义啮合分力如式(5)所示：

$>\left(\begin{array}{c}{F}_{t021}=2T_1/d_1\\ F_{r021}=F_{t021}{\mathrm{tan\alpha }}_n/cos\beta \\ F_{a021}=F_{t021}tan\beta \end{array}\right)---\left(5\right)$>

上式中，F_t021为名义切向力；F_r021为名义径向力；F_a021为名义轴向力；T₁为行星轮分支输入转矩大小，设太阳轮总输入转矩T平均分配给各行星轮分支，则T₁＝T/N_p；d₁为太阳轮分度圆直径；α_n为法向压力角；β为螺旋角；

如果齿轮存在变位，齿轮副的真实啮合分力如式(6)所示：

$>\left(\begin{array}{c}{F}_{tw21}=T/\overline{o_1{p}_1}\\ F_{nv21}=\sqrt{F_{t021}^2+F_{r021}^2-F_{tw21}^2}\\ F_{aw21}=F_{a021}\end{array}\right)---\left(6\right)$>

上式中，F_tw21为真实切向力；F_rw21为真实径向力；F_aw21为真实轴向力；

太阳轮与行星轮齿轮副的法向啮合力如式(7)所示：

$>F_{n21}=\sqrt{F_{tw21}^2+F_{rw21}^2+F_{aw21}^2}---\left(7\right)$>

太阳轮和行星轮在坐标系o₂x₂y₂z₂下的等效啮合力作用线方向矢量n₀₂₁的各分量系数如式(8)所示：

$>\left(\begin{array}{c}{n}_{x21}=-F_{rw21}/F_{n21}\\ n_{y21}=k_L{F}_{tw21}/F_{n21}\\ n_{z21}=-k_L{k}_R{F}_{aw21}/F_{n21}\end{array}\right)---\left(8\right)$>

上式中，k_L为工况系数，当输入转矩T的方向为+Z时，k_L＝1，当输入转矩T的方向为-Z时，k_L＝-1；k_R为齿轮旋向系数，当太阳轮为右旋时，k_R＝1，当太阳轮为左旋时，k_R＝-1；

全局坐标系下太阳轮与行星轮齿轮副等效啮合力作用线方向矢量如式(9)所示：

$>n_{21}^T=n_{021}^{T}H\left(\theta \right)---\left(9\right)$>

上式中，H(θ)为行星轮方位角θ对应的坐标变换矩阵，其由式(10)得到：

$>H\left(\theta \right)=\left(\begin{array}{ccc}cos\theta & -\sin \theta & 0\\ sin\theta & \cos \theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)---\left(10\right)$>

太阳轮和行星轮等效啮合节点平动自由度之间的刚度耦合如式(11)所示：

$>K_{m21}=k_{m21}{\left(\begin{array}{cc}{n}_{21}^T{n}_{21}& -n_{21}^T{n}_{21}\\ -n_{21}^T{n}_{21}& n_{21}^T{n}_{21}\end{array}\right)}_{6\times 6}---\left(11\right)$>

上式中，k_m21为齿轮啮合刚度系数，采用ISO6336给出的计算方法求得；

太阳轮和行星轮等效啮合节点转动自由度之间的刚度耦合如式(12)所示：

$>K_{m\theta 21}=k_{m\theta 21}{\left(\begin{array}{cc}{n}_{\theta 21}^T{n}_{\theta 21}& -n_{\theta 21}^T{n}_{\theta 21}\\ -n_{\theta 21}^T{n}_{\theta 21}& n_{\theta 21}^T{n}_{\theta 21}\end{array}\right)}_{6\times 6}---\left(12\right)$>

上式中，n_θ21为转动自由度耦合矢量，如式(13)所示：

n_θ21＝[-n_y21,n_x21,0]H(θ)；(13)

k_mθ21为太阳轮和行星轮啮合弯曲刚度系数，如式(14)所示：

$>\begin{array}{c}{k}_{m\theta 21}=\frac{{\mathrm{\Delta M}}_{21}}{{\mathrm{\Delta \gamma }}_{21}}=\frac{1}{{\mathrm{\Delta \gamma }}_{21}}\left[\underset{b/2}{\overset{b}{\int }}{\mathrm{\Delta \gamma }}_{21}z\frac{k_{m21}}{b}\left(z-\frac{b}{2}\right)dz-\underset{0}{\overset{b/2}{\int }}{\mathrm{\Delta \gamma }}_{21}z\frac{k_{m21}}{b}\left(\frac{b}{2}-z\right)dz\right]\\ =\frac{b^2}{12}{k}_{m21}\end{array}---\left(14\right)$>

上式中，ΔM₂₁表示太阳轮和行星轮接触线产生单位转角Δγ₂₁时，对齿宽中点的弯矩；b为有效齿宽，取太阳轮和行星轮齿宽的较小值；z为齿宽方向的局部坐标；dz为齿宽方向的微变量；

式(15)为太阳轮和行星轮等效啮合节点自由度对应的完整的齿轮等效啮合刚度矩阵：

$>K_{m21}={\left(\begin{array}{cccc}{k}_{m21}{n}_{21}^T{n}_{21}& 0& -k_{m21}{n}_{21}^T{n}_{21}& 0\\ 0& k_{m\theta 21}{n}_{\theta 21}^T{n}_{\theta 21}& 0& -k_{m\theta 21}{n}_{\theta 21}^T{n}_{\theta 21}\\ -k_{m21}{n}_{21}^T{n}_{21}& 0& k_{m21}{n}_{21}^T{n}_{21}& 0\\ 0& -k_{m\theta 21}{n}_{\theta 21}^T{n}_{\theta 21}& 0& k_{m\theta 21}{n}_{\theta 21}^T{n}_{\theta 21}\end{array}\right)}_{12\times 12}---\left(15\right)$>

上式中，n₂₁为全局坐标系下的等效啮合力作用线方向矢量，如式(9)所示；n_θ21为转动自由度耦合矢量，如式(13)所示；k_m21为齿轮啮合刚度系数，采用ISO6336给出的计算方法求得；k_mθ21为齿轮啮合弯曲刚度系数，如式(14)所示。

所述步骤4)中建立齿圈与行星轮的等效啮合模型并获得齿圈与行星轮的等效啮合刚度矩阵的过程如下：

齿圈与行星轮为内啮合齿轮副，定义齿圈中心梁单元节点为o₃，其坐标位置与全局坐标系原点O、太阳轮中心梁单元节点o₁位置相同，行星轮中心梁单元节点为o₂，齿圈等效啮合节点为p₃，行星轮在齿圈一端的等效啮合节点为p₂₃，p₃和p₂₃均有6个自由度；o₃与p₃、o₂与p₂₃之间采用刚性梁单元连接，刚度矩阵表示为K_g23，p₃和p₂₃之间采用沿齿轮等效啮合力作用线方向的空间弹簧单元连接，坐标系o₂x₂y₂z₂下的等效啮合力作用线方向矢量n₀₂₃表示为式(16)：

n₀₂₃＝[n_x23,n_y23,n_z23]^T(16)

上式中，n_x23、n_y23、n_z23分别为n₀₂₃在各坐标轴方向上的分量系数；

等效啮合节点p₃和p₂₃的坐标位置相同，根据式(17)求得：

$>\left(\begin{array}{c}\overline{o_3{p}_3}-\overline{o_2{p}_{23}}=L\\ \frac{\overline{o_2{p}_{23}}}{\overline{o_3{p}_3}}=\frac{N_2}{N_3}\end{array}\right)---\left(17\right)$>

上式中，N₂为行星轮齿数；N₃为齿圈齿数；L为齿圈与行星轮的中心距。

齿圈与行星轮齿轮副的名义啮合分力如式(18)所示：

$>\left(\begin{array}{c}{F}_{t023}=2T_3/d_3\\ F_{r023}=F_{t023}{\mathrm{tan\alpha }}_n/cos\beta \\ F_{a023}=F_{t023}tan\beta \end{array}\right)---\left(18\right)$>

上式中，F_t023为名义切向力；F_r023为名义径向力；F_a023为名义轴向力；T₃为齿圈承受的总转矩在每个行星轮分支上的转矩分量；d₃为齿圈分度圆直径；α_n为法向压力角；β为螺旋角；

如果齿轮存在变位，齿轮副的真实啮合分力如式(19)所示：

$>\left(\begin{array}{c}{F}_{tw23}=T_3/\overline{o_3{p}_3}\\ F_{w23}=\sqrt{F_{t023}^2+F_{r023}^2-F_{N23}^2}\\ F_{aw23}=F_{a023}\end{array}\right)---\left(19\right)$>

上式中，F_tw23为真实切向力；F_rw23为真实径向力；F_aw23为真实轴向力；

齿圈与行星轮齿轮副法向啮合力如式(20)所示：

$>F_{n23}=\sqrt{F_{tw23}^2+F_{rw23}^2+F_{aw23}^2}---\left(20\right)$>

齿圈和行星轮在坐标系o₂x₂y₂z₂下的等效啮合力作用线方向矢量n₀₂₃的各分量系数如式(21)所示：

$>\left(\begin{array}{c}{n}_{x23}=-F_{rw23}/F_n\\ n_{y23}=k_L{F}_{tw23}/F_n\\ n_{z23}=-k_L{k}_R{F}_{aw23}/F_n\end{array}\right)---\left(21\right)$>

上式中，工况系数k_L和齿轮旋向系数k_R的取值与式(8)相同；

全局坐标系下齿圈与行星轮齿轮副等效啮合力作用线方向矢量如式(22)所示：

$>n_{23}^T=n_{023}^{T}H\left(\theta \right)---\left(22\right)$>

上式中，H(θ)为行星轮方位角θ对应的坐标变换矩阵，由式(10)得到。

齿圈和行星轮等效啮合节点平动自由度之间的刚度耦合如式(23)所示：

$>K_{m23}=k_{m23}{\left(\begin{array}{cc}{n}_{23}^T{n}_{23}& -n_{23}^T{n}_{23}\\ -n_{23}^T{n}_{23}& n_{23}^T{n}_{23}\end{array}\right)}_{6\times 6}---\left(23\right)$>

上式中，k_m23为齿圈和行星轮啮合刚度系数，采用ISO6336给出的计算方法求得；

齿圈和行星轮等效啮合节点转动自由度之间的刚度耦合如式(24)所示：

$>K_{m\theta 23}=k_{m\theta 23}{\left(\begin{array}{cc}{n}_{\theta 23}^T{n}_{\theta 23}& -n_{\theta 23}^T{n}_{\theta 23}\\ -n_{\theta 23}^T{n}_{\theta 23}& n_{\theta 23}^T{n}_{\theta 23}\end{array}\right)}_{6\times 6}---\left(24\right)$>

上式中，n_θ23为转动自由度耦合矢量，如式(25)所示：

n_θ23＝[-n_y23,n_x23,0]H(θ)>

k_mθ23为齿轮啮合弯曲刚度系数，如式(26)所示：

$>\begin{array}{c}{k}_{m\theta 23}=\frac{{\mathrm{\Delta M}}_{23}}{{\mathrm{\Delta \gamma }}_{23}}=\frac{1}{{\mathrm{\Delta \gamma }}_{23}}\left[\underset{b/2}{\overset{b}{\int }}{\mathrm{\Delta \gamma }}_{23}z\frac{k_{m23}}{b}\left(z-\frac{b}{2}\right)dz-\underset{0}{\overset{b/2}{\int }}{\mathrm{\Delta \gamma }}_{23}z\frac{k_{m23}}{b}\left(\frac{b}{2}-z\right)dz\right]\\ =\frac{b^2}{12}{k}_{m23}\end{array}---\left(26\right)$>

上式中，ΔM₂₃表示齿圈和行星轮接触线产生单位转角Δγ₂₃时，对齿宽中点的弯矩；b为有效齿宽，取齿圈和行星轮齿宽的较小值；z为齿宽方向的局部坐标；dz为齿宽方向的微变量；

式(27)为齿圈和行星轮等效啮合节点自由度对应的完整的齿轮等效啮合刚度矩阵：

$>K_{m23}={\left(\begin{array}{cccc}{k}_{m23}{n}_{23}^T{n}_{23}& 0& -k_{m23}{n}_{23}^T{n}_{23}& 0\\ 0& k_{m\theta 23}{n}_{\theta 23}^T{n}_{\theta 23}& 0& -k_{m\theta 23}{n}_{\theta 23}^T{n}_{\theta 23}\\ -k_{m23}{n}_{23}^T{n}_{23}& 0& k_{m23}{n}_{23}^T{n}_{23}& 0\\ 0& -k_{m\theta 23}{n}_{\theta 23}^T{n}_{\theta 23}& 0& k_{m\theta 23}{n}_{\theta 23}^T{n}_{\theta 23}\end{array}\right)}_{12\times 12}---\left(27\right)$>

上式中，n₂₃为全局坐标系下的等效啮合力作用线方向矢量，如式(22)所示；n_θ23为转动自由度耦合矢量，如式(25)所示；k_m23为齿轮啮合刚度系数，采用ISO6336给出的计算方法求得；k_mθ23为齿轮啮合弯曲刚度系数，如式(26)所示。

所述步骤5)中，行星齿轮传动系统静力学方程为：

K(δ)δ＝F(28)

上式中，K(δ)为行星齿轮传动系统的非线性刚度矩阵，由轴模型刚度矩阵K_s、行星架单元刚度矩阵K_r、滚动轴承非线性刚度矩阵K_b、齿轮刚性梁单元刚度矩阵K_g21和K_g23、齿轮等效啮合单元刚度矩阵K_m21和K_m23组集而成；δ为系统模型节点自由度的静变形矢量；F为系统外载荷矢量。

所述步骤7)中太阳轮和行星轮的错位量的求解过程如下：

设静力学计算求得的太阳轮、行星轮和齿圈的等效啮合节点绕全局坐标系X轴和Y轴的转角变形分别为和根据行星轮方位角θ，将全局坐标系下的转角变形按照式(31)变换到行星轮局部坐标系o₂x₂y₂z₂：

上式中，H(-θ)为行星轮方位角-θ对应的坐标变换矩阵；

太阳轮和行星轮各自在端面啮合力作用线方向上的错位量如式(32)所示：