一种基于迭代加权最小二乘估计法的木材密度测定方法

摘要

一种基于迭代加权最小二乘估计法的木材密度测定方法，涉及木材密度测定的估计方法。本发明为了传统的回归分析方法等方法对于批次木材的密度测定进行估计存在误差较大的问题。本方法以有限样本下具有无偏估计性质的期望平均估计作为初始均值估计值，以迭代加权最小二乘法做回归估计微调，权系数取样本密度的频数与误差距离倒数的乘积，可以任意收敛到设定的门限阈值内而不出现发散现象，能够较准确估计反映出总体样本的密度。本发明适用于批次木材的密度估计领域。

说明书

技术领域

本发明涉及木材密度测定的估计方法。

背景技术

在实际的大批量木材应用的过程中，需要对承重木结构或者所应用的木材的质量进行事先估计，但是在应用的过程中不可能对每个木料进行称重。在实际的承重木结构质量估计的过程中一般是根据木材的密度和体积进行计算的，而在实际木材应用过程中不可能对一批木材中所有的对象进行密度测量，一般是对一批木材的密度进行估计。

木材密度的测定一般依据“GB/T 1933-2009木材密度测定方法”实施，但“GB/T 1933-2009木材密度测定方法”未涉及一批木材如何由抽取试样密度估计该批木材总样本密度的方法，而且也没有相关文献解决此问题。由于木材密度离散性较大而测量误差非常小，传统的回归分析方法不适用上述需求，因此由某批木材制作木结构的质量估算准确性会受到很大影响。

发明内容

本发明为了传统的回归分析方法等方法对于批次木材的密度测定进行估计存在误差较大的问题。

一种基于迭代加权最小二乘估计法的木材密度测定方法，包括以下步骤：

步骤1、针对一批木材随机抽取试样，计算出各试样密度ρ_i；

步骤2、试样密度的期望平均估计：

步骤2.1、试样密度的频数统计：

从ρ_i中确定出极大值ρ_max和极小值ρ_min；

取a＝[ρ_min*10^l-1-0.5]/10^l-1，b＝[ρ_max*10^l-1+0.5]/10^l-1；l为ρ_i、ρ_max或ρ_min小数点之后的有效位数，[·]运算表示取整数；

将区间[a,b]等分成m个小区间，计算落入各小区间的样本密度个数p_j，此p_j即为频数，总的取样数

步骤2.2、期望平均估计：

由式(2)可计算出试样密度的期望平均估计

${\hat{\rho }}_e=\frac{\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{p}_i·{\rho }_i}{\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{p}_i}---\left(2\right)$

每个ρ_i所对应的频数为自身落入小区间所对应的频数p_i；尽管只有m个区间，也就只有m个p_j，但是将每个ρ_i均对应一个p_i，ρ_i对应的p_i为当前ρ_i落入小区间所对应的频数p_i，所以n个ρ_i会对应n个p_i；

步骤3、密度的加权最小二乘迭代估计：

各试样的体积v_i构成矩阵V＝[v₁>2 …>n]^T，质量g_i构成矩阵G＝[g₁>2 …>n]^T，密度ρ_i构成矩阵P＝[ρ₁>2 …>n]^T，将ρ₁至ρ_n所对应的n个p_i构成对角矩阵W；

步骤3.1：

a、将代入公式(3)中，得出初始误差距离E₀：

$E_0=\left|{\hat{\rho }}_{e}V-G\right|---\left(3\right)$

b、将E₀扩成对角阵，则初始权系数由式(4)确定；

$W_{wls}^0={\mathrm{WE}}_0^{-1}---\left(4\right)$

c、用式(5)的加权最小二乘法计算初始密度估计

${\hat{\rho }}_{wls}^0={\left(V^T{W}_{wls}^{0}V\right)}^{-1}{V}^T{W}_{wls}^{0}G---\left(5\right)$

步骤3.2：

d、将代入公式(6)中，得出密度估计的第k次误差距离E_k；

$E_k=\left|{\hat{\rho }}_{wls}^{k-1}V-G\right|---\left(6\right)$

其中，是第k-1次估计的密度；

e、将E_k扩成对角阵，则第k次权系数由式(7)确定；

$W_{wls}^k={\mathrm{WE}}_k^{-1}---\left(7\right)$

f、用式(8)的加权最小二乘法计算第k次密度估计

${\hat{\rho }}_{wls}^k={\left(V^T{W}_{wls}^{k}V\right)}^{-1}{V}^T{W}_{wls}^{k}G---\left(8\right)$

步骤3.3：

g、用式(9)计算密度估计的第k次方差

${\sigma }_k^2=\frac{1}{n-1}\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{({\rho }_i-{\hat{\rho }}_{wls}^k)}^2---\left(9\right)$

h、δ为设定的阈值，判断如不满足条件则转入步骤3.2继续加权最小二乘迭代估计计算，如满足条件则结束并输出密度估计值

本发明具有以下效果：

本方法以有限样本下具有无偏估计性质的期望平均估计作为初始均值估计值，以迭代加权最小二乘法做回归估计微调，权系数取样本密度的频数与误差距离倒数的乘积(充分兼顾了样本密度的出现机率和对样本的估计效果，符合木材密度样本离散度较大但密度较小较大的样本出现机率小、有限样本容量的特点)，可以任意收敛到设定的门限阈值内而不出现发散现象，能够较准确估计反映出总体样本的密度。

附图说明

图1为木材密度测定方法的迭代加权最小二乘估计运算流程图；

图2(a)为样本测量值分布图；图2(b)样本密度分布图；

图3试样密度的频数直方图。

具体实施方式

具体实施方式一：

一种基于迭代加权最小二乘估计法的木材密度测定方法，包括以下步骤：

步骤1、针对一批木材随机抽取试样，计算出各试样密度ρ_i；

步骤2、试样密度的期望平均估计：

步骤2.1、试样密度的频数统计：

从ρ_i中确定出极大值ρ_max和极小值ρ_min；

取a＝[ρ_min*10^l-1-0.5]/10^l-1，b＝[ρ_max*10^l-1+0.5]/10^l-1；l为ρ_i、ρ_max或ρ_min小数点之后的有效位数，[·]运算表示取整数；

将区间[a,b]等分成m个小区间，计算落入各小区间的样本密度个数p_j，此p_j即为频数，总的取样数

步骤2.2、期望平均估计：

由式(2)可计算出试样密度的期望平均估计

${\hat{\rho }}_e=\frac{\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{p}_i·{\rho }_i}{\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{p}_i}---\left(2\right)$

每个ρ_i所对应的频数为自身落入小区间所对应的频数p_i；尽管只有m个区间，也就只 有m个p_j，但是将每个ρ_i均对应一个p_i，ρ_i对应的p_i为当前ρ_i落入小区间所对应的频数p_i，所以n个ρ_i会对应n个p_i；

步骤3、密度的加权最小二乘迭代估计：

各试样的体积v_i构成矩阵V＝[v₁>2 …>n]^T，质量g_i构成矩阵G＝[g₁>2 …>n]^T，密度ρ_i构成矩阵P＝[ρ₁>2 …>n]^T，将ρ₁至ρ_n所对应的n个p_i构成对角矩阵W；

步骤3.1：

a、将代入公式(3)中，得出初始误差距离E₀：

$E_0=\left|{\hat{\rho }}_{e}V-G\right|---\left(3\right)$

b、将E₀扩成对角阵，则初始权系数由式(4)确定；

$W_{wls}^0={\mathrm{WE}}_0^{-1}---\left(4\right)$

c、用式(5)的加权最小二乘法计算初始密度估计

${\hat{\rho }}_{wls}^0={\left(V^T{W}_{wls}^{0}V\right)}^{-1}{V}^T{W}_{wls}^{0}G---\left(5\right)$

步骤3.2：

d、将代入公式(6)中，得出密度估计的第k次误差距离E_k；

$E_k=\left|{\hat{\rho }}_{wls}^{k-1}V-G\right|---\left(6\right)$

其中，是第k-1次估计的密度；

e、将E_k扩成对角阵，则第k次权系数由式(7)确定；

$W_{wls}^k={\mathrm{WE}}_k^{-1}---\left(7\right)$

f、用式(8)的加权最小二乘法计算第k次密度估计

${\hat{\rho }}_{wls}^k={\left(V^T{W}_{wls}^{k}V\right)}^{-1}{V}^T{W}_{wls}^{k}G---\left(8\right)$

步骤3.3：

g、用式(9)计算密度估计的第k次方差

${\sigma }_k^2=\frac{1}{n-1}\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{({\rho }_i-{\hat{\rho }}_{wls}^k)}^2---\left(9\right)$

h、δ为设定的阈值，判断如不满足条件则转入步骤3.2继续加权最小二乘迭代估计计算，如满足条件则结束并输出密度估计值

本方法采用的期望平均估计方法和迭代加权最小二乘法在测量平差领域均有广泛地 应用，但这两种方法都是针对测量值存在等精度和非等精度测量误差情况下得出较准确的估计结果，没有考虑样本存在较大离散度而测量误差较小的情况。

在密度估计中，算术平均值估计量是全纳伪估计量。算术平均值估计量也就是最小二乘估计量或正态分布的极大似然估计量，是建立在所有观测值只含偶然误差基础上的一种估计方法，如果观测值中含有较大离散分布值，这种估计由于是按平均分配误差原则来处理数据的，将会导致估计结果纳伪。

中位数估计又可定名为“和极大似然估计”，因为它是根据随机变量概率事件之和为最大而导出未知参数估计式的，具有彻底的抗差性，观测值的较大离散分布或粗差都不会对估计结果产生影响，但由于具有彻底的排它性，从而使中位数估计排除了所有的多余观测，因此带来了全弃真的估计性质，但却是彻底的抗差估计方法。

在有限样本容量的条件下，上述两种平均估计均为有偏估计，中位数估计可以克服密度分布离散度大的情况而算数平均无法克服。期望平均估计由于考虑了样本密度出现频数(概率密度的离散数据统计结果)，估计具有既不纳伪、也不弃真的估计性质，即在有限样本容量的条件下此平均估计为无偏估计。

迭代加权最小二乘法的权系数通常取方差倒数使均方误差和达到最小，或根据对象的特点取信噪比、可信度等作为权系数，此类权系数的取法均不适用于木材密度样本离散度较大而测量误差较小、离散度呈现准正态分布的特点；迭代加权最小二乘法的初始均值通常取算术平均估计值或最小二乘法估计值，由于估计值在有限样本下估计的有偏性质，迭代过程经常存在发散现象。

本方法以有限样本下具有无偏估计性质的期望平均估计作为初始均值估计值，以迭代加权最小二乘法做回归估计微调，权系数取样本密度的频数与误差距离倒数的乘积(充分兼顾了样本的出现机率和对样本的估计效果，符合木材密度样本离散度较大但密度较小较大的样本出现机率小、有限样本容量的特点)，可以任意收敛到设定的门限阈值内而不出现发散现象，能够较准确估计反映出总体样本的密度。

具体实施方式二：

本实施方式步骤1的具体过程如下：

针对一批木材随机抽取试样(需要具有代表性，样本的数量应占总样本的四分之一以上，并且不少于20个)，按照“GB/T 1933-2009木材密度测定方法”测量出各试样的体积v_i、质量g_i，i为试样的序号，i＝1,2...n；

由式(1)计算出各试样密度

${\rho }_i=\frac{g_i}{v_i}---\left(1\right).$

其它步骤及参数与具体实施方式一相同。

具体实施方式三：

本实施方式步骤2.1所述的m的确定方法如下：

由经验公式m≈[Δ·(n-1)^0.4]确定出所需划分的区间m；Δ取值1.80～1.90；

式中[·]运算表示取整数。

其它步骤及参数与具体实施方式二相同。

具体实施方式四：

本实施方式步骤2.1所述的Δ＝1.90。

其它步骤及参数与具体实施方式三相同。

实施例

采用本发明对一批桐木条进行试验：

步骤1、针对一批木材随机抽取试样，计算出各试样密度；

一批木材抽取的样本如表1所示。

表1木材样本值

表1中样本测量值如图2(a)分布，其密度如图2(b)分布。

步骤2、试样密度的期望平均估计：

1、试样密度的频数统计

由表1的样本密度值确定：

ρ_min＝0.196，则取a＝0.19；ρ_min＝0.196小数点之后的有效位l＝3，用10^l-1乘以该数再减去0.5后取整，之后除以10^l-1即可得a，a＝[0.196*100-0.5]/100；

ρ_max＝0.306，则取b＝0.31；ρ_max＝0.306小数点之后的有效位l＝3，用10^l-1乘以该数再加上0.5后取整，之后除以10^l-1即可得b，b＝[0.306*100+0.5]/100；

可确定出密度区间[0.19,0.31]；

取Δ＝1.9，m≈[Δ·(n-1)^0.4]＝[6.885]；m≈6，考虑[6.885]的因素选取m＝7，确定所需划分的区间为7个；

则落入各小区间的样本密度个数如表2，其直方图如图3所示。

表2样本密度频数表

2、试样密度的期望平均估计

由式(2)可计算出密度的期望平均估计

步骤3、试样密度的迭代加权最小二乘估计

按照图1的迭代加权最小二乘估计运算流程图，可计算出密度的迭代加权最小二乘估计，

其中，

本方法的结果分析

根据表1的数据，将常用估计方法的密度估计结果列于表3。

表3常用估计方法的密度估计结果

由表3可以看出，本方法的密度估计方差最小即均优于其他估计方法。